<<
>>

Первообразная и неопределенный интеграл

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти ее производную (например, найти предельные издержки, зная суммарные издержки).

При этом, если производная существует в каждой точке х некоторого промежутка Х , то это также некоторая функция f(x) на Х , такая, что f{x) == F'(x). Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F'(x)= f (x) (например, найти суммарные издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение L Дифференцируемая функция F(;c), определенная на некотором промежутке Х, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x), или, что то же самое dF(x)=f(x)dx.

Пример. Найти какую-либо первообразную для функции f (.х)=3х2. Функция F(x) = х3 является первообразной для f(x)=3x2, так как F'(x) =(x3)’=Зx2 = f(x).

Нетрудно заметить, что первообразная х3 не является единственной для функции Зх2. В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции: х3 + 5, х3 - 2 и вообще х3 +С, где С —произвольная постоянная, потому что (х3 +С)'=Зх2. Приведем формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f{x)dx (читается: «интеграл от эф от икс де икс»). Если F(x) является первообразной для функции f\x) на промежутке Х, то согласно этому определению имеем f(x)dx = F(x) + С.

Определение 3. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х —- переменной интегрирования, символ — знаком

неопределенного интеграла, С — постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла. Пусть функция F(x) является первообразной для функции f{x) на некотором промежутке Х , т.е. F\x) == f{x). Тогда по определению f{x)dx = F(x) + С. Имеем следующие свойства:

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем:

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Имеем:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой

функции плюс произвольная постоянная. Имеем:

Свойства 1) и 2) используют обычно для проверки результатов интегрирования.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а == const 0,

5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Для исследования совокупности экономических явлений, следующих одно за другим в известном порядке, используется такой математический инструментарий как ряды. Представляя собой совокупность величин, расположенных в определенной последовательности, ряды позволяют зафиксировать тенденцию какого-либо экономического процесса, описываемого совокупностью последовательных явлений.

<< | >>
Источник: В.И. Видяпин. Бакалавр Экономики. Хрестоматия в 3 томах. Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова, Центр кадрового развития. Том 1./под общ. ред. В.И. Видяпина., М., 1999год, 696 стр.. 1999

Еще по теме Первообразная и неопределенный интеграл:

  1. 1. Неопределённость. Виды неопределённости. Классификация рисков
  2. Конус неопределенности
  3. Случайность — неопределенность — вероятность
  4. Выражение неопределенности
  5. Риск и неопределенность
  6. Источники и виды неопределенности.
  7. Риск и неопределенность в АПК
  8. Замечания по поводу неопределенности в оценке Triad
  9. Риск, неопределенность и критичность
  10. 9. Неопределенность и ожидания
  11. Неопределенность будущей ценности денег
  12. Прибыль как доход за несение бремени неопределенности
  13. Источники неопределенности в оценках
  14. Снижение рисков и неопределенности в потреблении
  15. 7.3 Предпочтения потребителя в условиях неопределенности
- Информатика для экономистов - Антимонопольное право - Бухгалтерский учет и контроль - Бюджетна система України - Бюджетная система России - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики в России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инновации - Институциональная экономика - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Кризисная экономика - Лизинг - Логистика - Математические методы в экономике - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоговое право - Организация производства - Основы экономики - Политическая экономия - Региональная и национальная экономика - Страховое дело - Теория управления экономическими системами - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятия - Экономика природопользования - Экономика труда - Экономическая безопасность - Экономическая география - Экономическая демография - Экономическая статистика - Экономическая теория и история - Экономический анализ -