4.2 Задача производителя и ее свойства
Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя заключается в том, что производитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизирующий прибыль.
В терминах чистых выпусков прибыль есть скалярное произведение вектора чистых выпусков y ? Y на вектор цен: py. Таким образом, если производитель, приобретая факторы производства и продавая производимые блага на рынках с совершенной конкуренцией блага, сталкивается с некоторым вектором цен p, то его выбор оказывается решением следующей задачи на экстремум:Задача 3.
py ^ max.
yeY
Отметим, что если все цены положительны (все блага желательны), то решение задачи производителя должно лежать на эффективной границе технологического множества. эффективная / * y2 граница ч Y P2/Pi^4
ч , yi Рис. 4.5. Иллюстрация решения задачи производителя
Обозначим множество цен, на котором существует решение Задачи 3, через P. Определение 38:
Отображением предложения y(p) будем называть отображение, которое ставит в соответствие каждому вектору цен p ? P множество решений этой задачи. Если решения единственны, то говорят о функции предложения.
Определение 39:
Функция прибыли - это функция, которая ставит в соответствие каждому вектору цен p ? P значение Задачи 3:
n(p) = py(p).
Существенное отличие задачи производителя (Задача 3) от задачи потребителя (Задачи 1) состоит в том, что множество ее допустимых решений Y, как правило, не ограничено. Более того, для технологий с неубывающей отдачей существование допустимых технологий с положительной прибылью означает существование допустимых технологий, дающих сколь угодно большую прибыль.
Пример 28 ((Отсутствие решения задачи производителя)):
Пусть технологическое множество имеет вид
Y = { (yI,y2) | yI < 0,y2 + ayI < 0 } ,
цены благ равны pI, P2. Если выбрать y2 = - ayI, то прибыль будет равна -(ap2 - PI)yI.
Поэтому если ap2 > PI, то прибыль не ограничена сверху, и решение отсутствует.Если ap2 < PI, то решение единственно - yI =0 и y2 =0. Если ap2 = PI, то решением этой задачи является любая технологически допустимая пара (yI, y2), такая что y2+ayI = 0. Д
Таким образом, существование решений можно гарантировать лишь при дополнительных предположениях относительно вектора цен p и структуры множества Y. Ниже мы докажем существование решения для всех неотрицательных цен при следующем (сильном) предположении: существует компактное множество Y', такое что
Y' С Y и Y С Y' - R+. (р)
Рис. 4.6. Иллюстрация предположения, гарантирующего существование решения задачи максимизации прибыли
Заметим (что легко увидеть из предлагаемых иллюстраций Рис. 5), что множество Y', обладающее указанным свойством, если существует, то определяется множеством Y не единственным образом.
Теорема 49:
Пусть выполнено соотношение (р). Тогда решение Задачи 3 существует при любом неотрицательном векторе цен благ. J
Доказательство: Докажем, что задача максимизации прибыли на Y в определенном смысле сводится к задаче максимизации прибыли на Y'. Пусть y е Y и y е Y'. Тогда по условию (р) найдется вектор y' е Y' такой, что y' - y 0. Тем самым, мы нашли допустимое решение, для которого прибыль не меньше, чем для y. Из этого следует, что нам достаточно рассматривать только y е Y'.
Поскольку Y' - компактное множество, а прибыль py непрерывна по y, то по теореме Вейерштрасса решение Задачи 3 на множестве Y' всегда существует. ?
Ясно, что предположения этой теоремы слишком ограничительны, что не позволяет устанавливать существование решения задачи производителя для многих популярных технологических множеств. Так, для производственной функции Кобба- Дугласа с убывающей отдачей (f (K, L) = KaLe, a + в < 1) мы можем гарантировать существование решения при положительных ценах, а условию теоремы она не удовлетворяет.
Существование решение задачи производителя в этом случае гарантируется тем фактом, что на всех "рецессивных направлениях" данного технологического множества прибыль принимает отрицательные значения.
Поясним сказанное и приведем утверждения, обобщающие доказанную выше теорему.Введем соответствующие понятия.
Пусть Y удовлетворяет свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Назовем вектор ф рецессивным направлением (направлением "удаления в бесконечность"), если A^ е Y VA ^ 0.
Обозначим через Ф множество всех рецессивных направлений. По построению Ф является конусом. Построим на основе Ф следующее множество (множество цен, которые на рецессивных направлениях дают отрицательную прибыль):
р = { p | pф < 0 Vф ? Ф: ф = 0 } .
Справедлива следующая теорема. Теорема 50:
Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто и удовлетворяет свойству свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Тогда при всех p ? р Задача 3 имеет решение.J
Доказательство: Рассмотрим p ? р и предположим, что Задача 3 не имеет решения. Тогда существует неограниченная последовательность технологий {yj}, такая что
llyi+Ill > НУЛ
и
lim pyj = sup py.
Без ограничения общности можно считать, что yj = 0. Рассмотрим последовательность Уг/НУгН Эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность. Обозначим эту подпоследовательность через {yj}, а ее предел через y. Покажем, что y ? Ф.
Пусть это не так, и найдется А, такое что Ay ? Y. Рассмотрим последовательность Ay j. Из свойства невозрастающей отдачи и того, что исходная последовательность yj неограниченно возрастает, следует, что начиная с некоторого i эта последовательность принадлежит Y. Пределом этой последовательности будет вектор Ay. Поскольку технологическое множество замкнуто, то Ay ? Y. Полученное противоречие доказывает, что y ? Ф.
Поскольку p ? р и у ? Ф, то py < 0. Отсюда следует, что для достаточно больших i выполняется py j < 0, поэтому lim pyj = -то. C другой стороны, поскольку Y непусто, то supy€y py > -то. I
Из доказанной теоремы следует, что если множество рецессивных направлений Ф совпадает с , то (в предположениях теоремы) решение задачи производителя существует при любых положительных ценах.
Примером служит технология, задаваемая производственной функцией Кобба- Дугласа с убывающей отдачей.Докажем некоторые свойства функции прибыли и отображения (функции) предложения.
Теорема 51 ((Свойства функции п(р))):
Функция n(p) положительно однородна 1-й степени:
n(Ap) = An(p) Vp ? int P.
Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли n(p) выпукла на любом выпуклом подмножестве множества P (множества цен, при которых Задача 3 имеет решение).
Функция n(p) непрерывна на внутренности множества P, int P.
Если множество Y строго выпукло, то n(p) непрерывно дифференцируема на p ? int P. J
Доказательство: 1) Доказательство однородности оставляем в качестве упражнения.
2) Докажем выпуклость п(-). Пусть от некоторых двух цен p, p' взята выпуклая комбинация - цена
pa = ap + (1 - a)p' (0 < a < 1).
Учитывая условия максимизации прибыли, имеем для ya = y(pa):
py" < n(p^ p'y" < n(p').
Складывая эти неравенства с множителями a и 1 - a соответственно, получим требуемое неравенство:
n(pa) < an(p) + (1 - a)n(p').
Выпуклость функции п(-) можно также доказать, используя тот факт, что поточечный максимум семейства выпуклых функций - выпуклая функция, заметив, что п(-) является поточечным максимумом выпуклых (линейных) функций py, y е Y.
Непрерывность функции п(-) на множестве int P следует, например, из того факта, что выпуклая функция непрерывна во внутренности ее области определения.
Дифференцируемость функции п(-) следует из того, что решение задачи производителя y(p) единственно при любых при любых положительных ценах, градиент Vn(p) = y(p). Поскольку y(p) непрерывна на int P, n(p) непрерывно дифференцируема на int P. I
Аналогом тождества Роя является следующая лемма Хотеллинга, результат, который мы использовали при доказательстве предыдущей теоремы и который мы установим сейчас при более сильных, чем это необходимо, предположениях.
Теорема 52:
Пусть функция прибыли п(-) непрерывно дифференцируема в точке p е int P.
Тогдаdn(p)
-лрт=yk (p). J
Доказательство: Пусть p е int P - некоторый вектор цен. Для доказательства леммы определим две функции от цены k-го блага Pk. Первая из них представляет собой прибыль как функцию pfc при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне p_k, т. е.
nfc(Pfc) = n(p-k,Pfc) = n(pI, . . . ,Pfc-I,Pfc, Pk+I, ... ,p). Обозначив y = y(p), определим вторую функцию как
Y (Pk) = Pk yk + J2 P^sy/s.
s=k
Она является линейной функцией P k .
По определению, n(p) = py, а это означает, что nk(j5k) = Y(Pk). При других ценах, вообще говоря, y = y(p) может не давать максимум прибыли, т. е. nk(Pk) ^ Y(Pk). Таким образом, прямая Y(Pk) является касательной графика функции nk(Pk) в точке Pk (точка A на Рис. 4.7). В точке касания производные совпадают, поэтому
^^Ppp = nk (Pk) = Y '(PPk) = yk, что и означает справедливость Леммы. I
Теорема 53 ((Свойства отображения предложения)):
Отображение (функция) предложения y(p) однородно нулевой степени.
Рис. 4.7. Иллюстрация доказательства Леммы Хотеллинга
Если множество Y строго выпукло, то y(p) - однозначная функция на p G P, причем y(p) непрерывна на p G int P.
Если функция прибыли п(-) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица Якоби M = |dys/dpfc} функции y(p) симметрична и положительно полуопределена, p G int P. J
Доказательство: Доказательство оставляем в качестве упражнения. ?
Если технологическое множество может быть представлено посредством производственной функции, то задача производителя сводится к следующей задаче максимизации прибыли:
pof (r) - wr ^ max,
где po - цена выпускаемой продукции, r - количество затрачиваемых факторов производства, w - вектор цен факторов. Прибыль здесь определяется как разность между выручкой poyo и издержками wr.
Пусть r(w,po) - функция спроса на факторы производства при векторе цен (w,po), yo(w,po) - функция предложения продукции при векторе цен (w,po). Заметим, что если po > 0, то yo(w,po) = f (r(w,po)). В данном контексте функция прибыли записывается в следующем виде:
n(w,po) = pof (r(w,po)) - wr(w,po).
Поясним связи переменных этой задачи с ранее рассмотренными.
Как не трудно понять трудно понять p = (w,po) и y(p) = (-r(w,po), yo(w,po)).Как результаты доказанные в этом параграфе, так и те которые будут доказаны впоследствии, могут быть доказаны и в случае, когда первичным объектом рассмотрения является не технологическое множество, а производственная функция.
Если г - внутреннее решение задачи максимизации прибыли (r G int R) и производственная функция дифференцируема, то r удовлетворяет следующим условиям первого порядка:
po df(r) = wfc Vk G K.
т. е. предельная производительность каждого фактора производства равна его цене. В векторной записи
poVf (г) = w.
При Po > 0 получим следующую дифференциальную характеристику задачи производителя:
df (r) Wk
drk P
т. е. предельный продукт каждого фактора производства равен его относительной цене (пропорции обмена этого производственного фактора на продукт).
Предположим, что множество R задается неравенствами r ^ 0. Тогда любое решение удовлетворяет соотношению
o df (Г) Po f2 < Wk, drk
причем (условия дополняющей нежесткости)
o df (r)
P -Ti = Wk, если rk > 0,
drk
и
o df (Г)
rk = 0, если P - < Wk.
drk
Указанные необходимые условия оптимальности оказываются достаточными в случае, если производственная функция вогнута.
Соотношения леммы Хотеллинга в этом случае приобретают следующий вид:
= f (r(w,po)),
o
dpo dn(W,po)
= -rk (w,po).
dWk
Можно получить аналогичную дифференциальную характеристику решения задачи производителя и в случае, если технологическое множество задано неявной производственной функцией g(-), которая является дифференцируемой.
Заметим, что если технологическое множество задано неявной производственной функцией g(-), то задача производителя записывается как
py ^ max y
g(y) ^ 0.
При дифференцируемости функции g(-) решение этой задачи можно охарактеризовать при помощи теоремы Куна- Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагранжа для задачи производителя равна
L(y к) = Е Pk yk + ^(y^
keK
где к - множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.
По теореме Куна- Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что Vg(y) = 0) существует множитель Лагранжа к ^ 0, такой что решение задачи, y, удовлетворяет условиям
^LliK) =0 Vk е K, dyk
или
к^= pk Vk е K. dyk
В векторных обозначениях,
KVg(y) = P,
то есть градиент неявной производственной функции коллинеарен вектору цен.
Если не все цены равны нулю (p = 0), то к > 0. Исключая множитель Лагранжа к, для любых двух благ k, s G K, таких что p^ = 0, получаем, что
Ps = dg(y)/%s Pfc dg(y)/dyfc.
Следовательно, решение задачи производителя характеризуется равенством предельной нормы трансформации любых двух благ отношению цен этих благ.
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной теореме Куна- Таккера является решением задачи производителя, если выполнено дополнительное условие, что функция g(-) вогнута.
Еще по теме 4.2 Задача производителя и ее свойства:
- 1.2. Задача производителя и ее свойства
- 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя
- 17.7 Свойства решений параметрической задачи оптимизации
- 7.1.1 Производственная функция и её свойства. Производство с одним переменным фактором и закон убывающей отдачи. Производство с двумя переменными факторами и эффект масштаба. Равновесие производителя
- 2. Равновесие производителя в случае одного продукта и одного ресурса. Предельный и средний продукт. Закон убывающей предельной производительности. Прибыль производителя. Условие равновесия производителя. Линейная модель производства. Равновесие в линейной модели производства.
- № 15-16 Обращения Объединенного товарищества производителей инструментов (США) к американским предпринимателям о развитии отношений с СССР и проведении выставки 15-23 февраля 1934 г. №15 Обращение исполнительного комитета Ассоциации производителей двигателей и оборудования 15 февраля 1934 г.
- 6.3.1 Излишек производителя
- 3. Характеристика поведения производителей в квазилинейных экономиках
- 6.3 Характеристика поведения производителей в квазилинейных экономиках
- Торговля и интересы производителей
- 1.4. Функция издержек и ее свойства
- 12. Выигрыши потребителя и производителя и их максимизация
- Поставщики марок фирм-производителей