Существование равновесия при монополии
Заметим, что множество допустимых решений задачи монополиста (у > 0) неограниченно, и поэтому мы можем гарантировать существование равновесия лишь при некоторых предположениях относительно поведения функций спроса и издержек.
Приведенная ниже теорема существования указывает на такие условия.Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить множество «возможных» монопольных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно функций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существовании экстремумов непрерывной функции на компактном множестве. Другими словами, мы доказываем, что при естественных условиях относительно функций издержек и спроса
задача максимизации прибыли монополиста на у > О, эквивалентна задаче максимизации на некотором отрезке действительной прямой (в том смысле, что множества решений этих двух задач совпадают). А для этого достаточно доказать, что прибыль вне этого отрезка ниже, чем в какой-либо точке, принадлежащей этому отрезку.
j Теорема 15.
| Пусть выполнены следующие условия:
j 1) функция издержек, с(у), дифференцируема на [0,
j 2) обратная функция спроса р(у) дифференцируема56 и
! р(у)< 0 при [0, °о),
j 3) существует у > 0 такой, что р(у) < с'(у) при г/ > у. j Тогда равновесие при монополии существует.
Доказательство.
Докажем, что при сделанных предположениях П(г/) < П(у) при у > у. Действительно, при у > у
П'Ы = р(у) - с'(у) + р'(у) у< 0. Это неравенство следует из убывания обратной функции спроса и предположения 3) теоремы. Таким образом, прибыль в точке у выше, чем в любой большей точке у > у, поэтому задача максимизации прибыли при у > 0 сводится к задаче максимизации прибыли на отрезке [0, у\.
Из предположений теоремы следует, что функция прибыли П(г/) непрерывна. Непрерывная функция прибыли по теореме Вейерштрасса должна достигать максимума на компактном множестве [0, у\, откуда следует существование точки у", которая максимизирует прибыль при ограничении у > 0. ¦
Заметим, что предположения теоремы можно ослабить, сделав предположения относительно поведения совокупного излишка, а не относительно его производной р(у) - с'(у) (предположение 3) теоремы).
Под совокупным излишком мы будем пониматьG5(y)=fp(t)dt-[c(y)-c(0)].
о
При этом, если функция издержек дифференцируема, то
GS(y)=]\p(t)-c'(t)]dt.
о
Другими словами, совокупный излишек равен площади фигуры заключенной между кривой спроса, кривой предельных издержек, осью ординат и параллельной ей прямой, проходящей через точку (у, 0).
Нам достаточно предположить, что существует объем производства у > 0 такой, что GS(y) < GS(y) при у > у. Поскольку совокупный излишек используется как показатель благосостояния, указанное условие означает, что нельзя увеличивать благосостояние простым увеличением выпуска одного блага.
j Теорема 16.
! Пусть выполнены следующие условия:
j 1) функция издержек, с(у), непрерывна на [0, оо),
! 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает
j на [0, оо),
j 3) существует у > 0 такой, что GS(y) < GS(y) при у > у. \ Тогда равновесие при монополии существует.
Доказательство.
Представим функцию прибыли в следующем виде:
П(у)= р(у) у-с(у)= р(у) у-]p(t)dt + GS(y)-c(0).
о
Достаточно доказать, что при сделанных предположениях П(г/) < П(у) при у > у. Разность прибылей равна
Щу) - П(у) = р(у) у - р(у) у - ]p(t)dt + GS(y) - GS(y).
У
Поскольку р(у) убывает, то р(у) < p(t) при t < у, и поэтому
У
\p(t)dt>p(y)(y-y).
У
Воспользовавшись этой оценкой интеграла имеем:
П(у) - Щу) < [р(у) - р(у)]У + GS(y) - GS(y) < 0. Дальнейшие рассуждения совпадают с соответствующей частью доказательства Теоремы 15. ¦
Еще по теме Существование равновесия при монополии:
- 13.1.4 Существование равновесия при монополии
- Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции
- 14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
- 5.3 Существование общего равновесия
- 3. Существование общего равновесия
- РАЗДЕЛ 2. Существование и единственность равновесия
- 5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу-Дебре
- Теоремы существования общего равновесия
- 5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена
- Существование межвременного равновесия
- Существование избирательного равновесия
- Приложение 5.A Теоремы существования равновесия