<<
>>

Существование равновесия при монополии

Заметим, что множество допустимых решений задачи монополиста (у > 0) неограниченно, и поэтому мы можем гарантировать существование равновесия лишь при некоторых предположениях относительно поведения функций спроса и издержек.

Приведенная ниже теорема существования указывает на такие условия.

Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить множество «возможных» монопольных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно функций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существовании экстремумов непрерывной функции на компактном множестве. Другими словами, мы доказываем, что при естественных условиях относительно функций издержек и спроса

задача максимизации прибыли монополиста на у > О, эквивалентна задаче максимизации на некотором отрезке действительной прямой (в том смысле, что множества решений этих двух задач совпадают). А для этого достаточно доказать, что прибыль вне этого отрезка ниже, чем в какой-либо точке, принадлежащей этому отрезку.

j Теорема 15.

| Пусть выполнены следующие условия:

j 1) функция издержек, с(у), дифференцируема на [0,

j 2) обратная функция спроса р(у) дифференцируема56 и

! р(у)< 0 при [0, °о),

j 3) существует у > 0 такой, что р(у) < с'(у) при г/ > у. j Тогда равновесие при монополии существует.

Доказательство.

Докажем, что при сделанных предположениях П(г/) < П(у) при у > у. Действительно, при у > у

П'Ы = р(у) - с'(у) + р'(у) у< 0. Это неравенство следует из убывания обратной функции спроса и предположения 3) теоремы. Таким образом, прибыль в точке у выше, чем в любой большей точке у > у, поэтому задача максимизации прибыли при у > 0 сводится к задаче максимизации прибыли на отрезке [0, у\.

Из предположений теоремы следует, что функция прибыли П(г/) непрерывна. Непрерывная функция прибыли по теореме Вейерштрасса должна достигать максимума на компактном множестве [0, у\, откуда следует существование точки у", которая максимизирует прибыль при ограничении у > 0. ¦

Заметим, что предположения теоремы можно ослабить, сделав предположения относительно поведения совокупного излишка, а не относительно его производной р(у) - с'(у) (предположение 3) теоремы).

Под совокупным излишком мы будем понимать

G5(y)=fp(t)dt-[c(y)-c(0)].

о

При этом, если функция издержек дифференцируема, то

GS(y)=]\p(t)-c'(t)]dt.

о

Другими словами, совокупный излишек равен площади фигуры заключенной между кривой спроса, кривой предельных издержек, осью ординат и параллельной ей прямой, проходящей через точку (у, 0).

Нам достаточно предположить, что существует объем производства у > 0 такой, что GS(y) < GS(y) при у > у. Поскольку совокупный излишек используется как показатель благосостояния, указанное условие означает, что нельзя увеличивать благосостояние простым увеличением выпуска одного блага.

j Теорема 16.

! Пусть выполнены следующие условия:

j 1) функция издержек, с(у), непрерывна на [0, оо),

! 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает

j на [0, оо),

j 3) существует у > 0 такой, что GS(y) < GS(y) при у > у. \ Тогда равновесие при монополии существует.

Доказательство.

Представим функцию прибыли в следующем виде:

П(у)= р(у) у-с(у)= р(у) у-]p(t)dt + GS(y)-c(0).

о

Достаточно доказать, что при сделанных предположениях П(г/) < П(у) при у > у. Разность прибылей равна

Щу) - П(у) = р(у) у - р(у) у - ]p(t)dt + GS(y) - GS(y).

У

Поскольку р(у) убывает, то р(у) < p(t) при t < у, и поэтому

У

\p(t)dt>p(y)(y-y).

У

Воспользовавшись этой оценкой интеграла имеем:

П(у) - Щу) < [р(у) - р(у)]У + GS(y) - GS(y) < 0. Дальнейшие рассуждения совпадают с соответствующей частью доказательства Теоремы 15. ¦

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков. Новосибирск 1999. 1999

Еще по теме Существование равновесия при монополии:

  1. 13.1.4 Существование равновесия при монополии
  2. Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции
  3. 14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
  4. 5.3 Существование общего равновесия
  5. 3. Существование общего равновесия
  6. РАЗДЕЛ 2. Существование и единственность равновесия
  7. 5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу-Дебре
  8. Теоремы существования общего равновесия
  9. 5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена
  10. Существование межвременного равновесия
  11. Существование избирательного равновесия
  12. Приложение 5.A Теоремы существования равновесия