Нормальная форма игры
Альтернативные действия, которые может предпринять игрок, в контексте статических игр с полной информацией, совпадают с тем, что в теории игр называется стратегиями, по причинам, которые станут ясны из дальнейшего.
Приведем пример статической игры с полной информацией.
Игра 1.
«Выбор компьютера»Двое знакомых одновременно выбирают, компьютеры какого типа им купить. Первый предпочитает IBM PC, второй — Макинтош. Обладание компьютером любимого типа первый оценивает в а (а > 0) некоторых условных единиц, а второй — в Ъ (Ь > 0) условных единиц. Полезность компьютера другого типа для обоих равна нулю. Каждый получает дополнительную выгоду (с > 0), если они выберут одинаковые компьютеры, поскольку в таком случае используемое ими программное обеспечение будет совместимым. Ф В этом примере каждый из игроков (мы будем их называть «Игрок 1» и «Игрок 2») имеет две стратегии, которые можно условно назвать «1ВМ» и «Мае». Описанную игру удобно представить в виде таблицы (матрицы) 2x2. В игре имеется четыре исхода: (IBM, IBM), (IBM, Mac) (Mac, IBM) и (Mac, Mac). Каждому исходу соответствует своя клетка таблицы; в этой клетке помещаются соответствующие выигрыши участников. Игры такого рода, то
есть игры с двумя участниками, каждый из которых имеет конечное число стратегий, принято называть матричными играми двух лиц. Таблица 1
?
Игрок 2 IBM Mac
IBM
Игрок 1
Мае с
а+ с Ъ
а 0
0 Ъ + с
с В рассмотренном примере можно выделить три элемента: + множество игроков,
+ множество стратегий, которые могут выбрать игроки, + выигрыши игроков.
И в общем случае, чтобы задать статическую игру с полной информацией, требуется указать перечисленные элементы. Описание игры в виде такого набора называется нормальной формой игры. Можно сказать, предваряя дальнейшее, что это тот минимум, который необходим для описания любой игры.
В более сложных типах игр становятся важными и другие аспекты анализируемой ситуации, такие как очередность ходов, информированность игроков, и т.д.В дальнейшем, описывая общую статическую игру т. лиц с полной информацией, будем использовать следующие формальные обозначения для указанных элементов.
Множество игроков (множество участников) будем обозначать I:
1 = {1,...,т].
Множество возможных стратегий г-го игрока — или просто множество стратегий г-го игрока — будем обозначать через Л",. Отдельную стратегию г-го игрока будем, как правило, обозначать через х{. Совокупность стратегий всех игроков будем называть исходом игры. Т.е. исход игры — это набор
х = (хъ ..., хт), где X е Л^х-хЛ'^Л'.
Будем предполагать, что у каждого из игроков есть своя целевая функция (в экономической теории ее называют функцией полезности). Обозначим целевую функцию г-го игрока через щ(-). Каждому исходу игры она сопоставляет некоторое действительное число — выигрыш. Таким образом, в описании игры следует
Таблица 2
Автомобилист
А В
А
Пешеход
В -102
-110 -20
-200 -120
-100 -100
-500 задать для каждого игрока iel функцию вида
щ: Л"К>М.
Нормальная форма игры, в соответствии со сказанным выше, представляет собой набор
G = (I, {Л-(Ь, нь>.
В некоторых играх есть элемент случайности. Если на вероятности случайных событий не влияют выборы, сделанные игроками, то принято говорить о случайных ходах природы. Рассмотрим в качестве примера следующую игру.
Игра 2.
В игре участвуют пешеход и автомобилист. Каждый из игроков имеет две стратегии: проявлять осторожность (А) и не проявлять осторожности (В). От выбранных стратегий зависит вероятность дорожно-транспортного происшествия (автомобилист собьет пешехода). Если оба ведут себя неосторожно, то вероятность
происшествия равна 1/2, если только один ведет себя неосторожно, то вероятность равна 1/10, а если оба осторожны, то вероятность равна 1/100.
В случае, если произойдет столкновение, то ущерб пешехода составит 1000 у.е., а ущерб автомобилиста — 200 у.е.
Кроме того, осторожное поведение на дороге связано для обоих игроков с издержками в 100 у.е. ФНа примере Игры 2 рассмотрим, каким образом представить в нормальной форме игру, включающую случайность. Для этого нам необходимо задать способ вычисления выигрышей (все остальные элементы нормальной формы здесь уже указаны).
Стандартное предположение теории игр состоит в том, что если выигрыш — случайная величина, то игроки предпочитают действия, которые приносят им наибольший ожидаемый выигрыш. Предполагается, что в описании игры случайные выигрыши даны в таком виде, что можно рассчитать их математическое ожидание и использовать в качестве выигрышей в нормальной форме игры. Таким образом, выигрыши выражены в некоторых условных единицах (вовсе не обязательно денежных) и представляют некоторый абстрактный уровень полезности для игрока при данном сочетании стратегий.
Пусть оба участника игры проявляют осторожность, то есть реализовался исход (А, А). Если произойдет столкновение, то выигрыш пешехода составит (-1100), а выигрыш водителя — (-300). В противном случае выигрыш пешехода составит (-100), а выигрыш водителя — (-100). Ожидаемые выигрыши равны в
этом случае:
1 99
щу- (-1100) + щу- (-100) =-110 — для пешехода,
1 99
щу- (-300) + 200' (-Ю0) =-102 — для автомобилиста.
Аналогичные вычисления нужно провести для трех других исходов. Рассчитанные выигрыши представлены в Таблице 2.
Заметьте, что полученная нормальная форма игры не содержит информацию о случайных ходах природы, их вероятностях и соответствующих случайных выигрышах.
Еще по теме Нормальная форма игры:
- 16.2.1 Нормальная форма игры
- 1.2. Игры в нормальной форме
- 2.1. Позиционная форма игры
- Содержание, порядок составления и значение бухгалтерских отчетов «Отчет об изменениях капитала» (форма № 3) и «Приложение к бухгалтерскому балансу» (форма №5). Взаимоувязка их данных с данными бухгалтерского баланса (форма № 1).
- 4.2. Закон нормального распределения вероятностей
- Нормальная устойчивость финансового состояния.
- Прибыль нормальная и экономическая
- Понятие нормальной области
- Метод аппроксимации нормальной области
- Мессианство или нормальная жизнь?