<<
>>

Нормальная форма игры

Альтернативные действия, которые может предпринять игрок, в контексте статических игр с полной информацией, совпадают с тем, что в теории игр называется стратегиями, по причинам, которые станут ясны из дальнейшего.

Приведем пример статической игры с полной информацией.

Игра 1.

«Выбор компьютера»

Двое знакомых одновременно выбирают, компьютеры какого типа им купить. Первый предпочитает IBM PC, второй — Макинтош. Обладание компьютером любимого типа первый оценивает в а (а > 0) некоторых условных единиц, а второй — в Ъ (Ь > 0) условных единиц. Полезность компьютера другого типа для обоих равна нулю. Каждый получает дополнительную выгоду (с > 0), если они выберут одинаковые компьютеры, поскольку в таком случае используемое ими программное обеспечение будет совместимым. Ф В этом примере каждый из игроков (мы будем их называть «Игрок 1» и «Игрок 2») имеет две стратегии, которые можно условно назвать «1ВМ» и «Мае». Описанную игру удобно представить в виде таблицы (матрицы) 2x2. В игре имеется четыре исхода: (IBM, IBM), (IBM, Mac) (Mac, IBM) и (Mac, Mac). Каждому исходу соответствует своя клетка таблицы; в этой клетке помещаются соответствующие выигрыши участников. Игры такого рода, то

есть игры с двумя участниками, каждый из которых имеет конечное число стратегий, принято называть матричными играми двух лиц. Таблица 1

?

Игрок 2 IBM Mac

IBM

Игрок 1

Мае с

а+ с Ъ

а 0

0 Ъ + с

с В рассмотренном примере можно выделить три элемента: + множество игроков,

+ множество стратегий, которые могут выбрать игроки, + выигрыши игроков.

И в общем случае, чтобы задать статическую игру с полной информацией, требуется указать перечисленные элементы. Описание игры в виде такого набора называется нормальной формой игры. Можно сказать, предваряя дальнейшее, что это тот минимум, который необходим для описания любой игры.

В более сложных типах игр становятся важными и другие аспекты анализируемой ситуации, такие как очередность ходов, информированность игроков, и т.д.

В дальнейшем, описывая общую статическую игру т. лиц с полной информацией, будем использовать следующие формальные обозначения для указанных элементов.

Множество игроков (множество участников) будем обозначать I:

1 = {1,...,т].

Множество возможных стратегий г-го игрока — или просто множество стратегий г-го игрока — будем обозначать через Л",. Отдельную стратегию г-го игрока будем, как правило, обозначать через х{. Совокупность стратегий всех игроков будем называть исходом игры. Т.е. исход игры — это набор

х = (хъ ..., хт), где X е Л^х-хЛ'^Л'.

Будем предполагать, что у каждого из игроков есть своя целевая функция (в экономической теории ее называют функцией полезности). Обозначим целевую функцию г-го игрока через щ(-). Каждому исходу игры она сопоставляет некоторое действительное число — выигрыш. Таким образом, в описании игры следует

Таблица 2

Автомобилист

А В

А

Пешеход

В -102

-110 -20

-200 -120

-100 -100

-500 задать для каждого игрока iel функцию вида

щ: Л"К>М.

Нормальная форма игры, в соответствии со сказанным выше, представляет собой набор

G = (I, {Л-(Ь, нь>.

В некоторых играх есть элемент случайности. Если на вероятности случайных событий не влияют выборы, сделанные игроками, то принято говорить о случайных ходах природы. Рассмотрим в качестве примера следующую игру.

Игра 2.

В игре участвуют пешеход и автомобилист. Каждый из игроков имеет две стратегии: проявлять осторожность (А) и не проявлять осторожности (В). От выбранных стратегий зависит вероятность дорожно-транспортного происшествия (автомобилист собьет пешехода). Если оба ведут себя неосторожно, то вероятность

происшествия равна 1/2, если только один ведет себя неосторожно, то вероятность равна 1/10, а если оба осторожны, то вероятность равна 1/100.

В случае, если произойдет столкновение, то ущерб пешехода составит 1000 у.е., а ущерб автомобилиста — 200 у.е.

Кроме того, осторожное поведение на дороге связано для обоих игроков с издержками в 100 у.е. Ф

На примере Игры 2 рассмотрим, каким образом представить в нормальной форме игру, включающую случайность. Для этого нам необходимо задать способ вычисления выигрышей (все остальные элементы нормальной формы здесь уже указаны).

Стандартное предположение теории игр состоит в том, что если выигрыш — случайная величина, то игроки предпочитают действия, которые приносят им наибольший ожидаемый выигрыш. Предполагается, что в описании игры случайные выигрыши даны в таком виде, что можно рассчитать их математическое ожидание и использовать в качестве выигрышей в нормальной форме игры. Таким образом, выигрыши выражены в некоторых условных единицах (вовсе не обязательно денежных) и представляют некоторый абстрактный уровень полезности для игрока при данном сочетании стратегий.

Пусть оба участника игры проявляют осторожность, то есть реализовался исход (А, А). Если произойдет столкновение, то выигрыш пешехода составит (-1100), а выигрыш водителя — (-300). В противном случае выигрыш пешехода составит (-100), а выигрыш водителя — (-100). Ожидаемые выигрыши равны в

этом случае:

1 99

щу- (-1100) + щу- (-100) =-110 — для пешехода,

1 99

щу- (-300) + 200' (-Ю0) =-102 — для автомобилиста.

Аналогичные вычисления нужно провести для трех других исходов. Рассчитанные выигрыши представлены в Таблице 2.

Заметьте, что полученная нормальная форма игры не содержит информацию о случайных ходах природы, их вероятностях и соответствующих случайных выигрышах.

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков. Новосибирск 1999. 1999

Еще по теме Нормальная форма игры:

  1. 16.2.1 Нормальная форма игры
  2. 1.2. Игры в нормальной форме
  3. 2.1. Позиционная форма игры
  4. Содержание, порядок составления и значение бухгалтерских отчетов «Отчет об изменениях капитала» (форма № 3) и «Приложение к бухгалтерскому балансу» (форма №5). Взаимоувязка их данных с данными бухгалтерского баланса (форма № 1).
  5. 4.2. Закон нормального распределения вероятностей
  6. Нормальная устойчивость финансового состояния.
  7. Прибыль нормальная и экономическая
  8. Понятие нормальной области
  9. Метод аппроксимации нормальной области
  10. Мессианство или нормальная жизнь?