<<
>>

1. Характеристика Парето- оптимальных состояний в квазилинейных экономиках

Квазилинейностью предпочтений потребителей объясняется ряд особых свойств рассматриваемой экономики. В частности, анализировать Парето-оптимальные состояния в квазилинейной экономике можно с помощью следующей задачи оптимизации:

Ег'Дж,) - Есф;) тах

ге I je J

Е'- Е/ • • А;=1,...,/, (W)

ге I je J

xt > О, ге I,

И J'e J-

Другими словами, верна следующая теорема.

j Теорема 8.

j 1) Пусть

j {(Ж1> Zl), •••) (Хт, Zm), 0)l, rl), •••) (Уп, Гп)}

j Парето-оптимальное состояние в квазилинейной эконо- j мике Е\.

Тогда набор ! (Ж), ..., хт, у1,..., уп)

\ является решением задачи (W). j 2) Обратно, пусть

I (Ж), ..., Хт, У), ..., уп)

j является решением задачи (W). j Тогда существуют такие ..., zm, ги ..., гп), что

т ), (iiu п), ¦¦¦, (уп, — I Парето-оптимальное состояние в квазилинейной эконо- j мике ?i-

Доказательство.

1) Напомним, что каждое Парето-оптимальное состояние,

т

при любом г0е I является решением следующей задачи математического программирования:

Via(xia) + zia max

Vi(Xi) + zi^ Vi(Xi) + zi} i Ф г0

ге J je J

Хл + X»v < Хю,

ге J je J iel

'' ' (//!• ./<

жг>0, ге I, 0, je J.

Как несложно показать, в этой задачи первое, третье и четвертое неравенства можно заменить на равенства, не изменяя множество решений задачи. Выражая из этих равенств z{ и и исключая их из оставшихся неравенств, видим, что данная задача сводится к задаче (W).

2) Пусть теперь (жь ..., хт, уъ ..., у„) является решением задачи (W). Мы можем взять г - = с -(у ¦) Vj. Рассмотрим произвольные г ¦, такие что их сумма равна

ге I ге I je /

Легко увидеть, что состояние

= {(Ж11 •"! (Ж»1! гт)| (У11 ''Ol "-1 (Уп1 Гп)} является допустимым состоянием экономики Е\. Докажем, что оно Парето-оптимально. Пусть это не так, и существует другое допустимое состояние экономики

такое что для всех потребителей (iel)

vt(xt) + 2t > г>г(жг)+?,, и существует по крайней мере один потребитель г0, для которого выполнено

г>;0(Ж;0) + > г>;0(Ж;0) + ?;„.

Складывая эти неравенства, получаем

Ег',(ж,) + ES, > Ег',(ж,) + Е5, • (* *)

ге J ге J ге J ге J

Поскольку <§ — допустимое состояние, то

Ег, + < Ею,

ге J у ./ ге J

откуда

ге J ге J je J

Складывая (*), (**) и (***), получаем

Ег'Дж,) - Ес,(У;) > Ег'Хж,) - Ес,(У;)-

ie I j> / iei je J

Поскольку (Sj, ..., хт, уи ..., уп) является допустимым в задаче (W), то это означает, что существование состояния S противоречит оптимальности (хъ ..., хт, у1} ..., уп) в задаче (W).

¦

В случае экономики первая часть доказанной теоремы для экономики Как видно из вышеприведенной теоремы, задача поиска Па- рето-оптимума для экономики Е\ эквивалентна задаче (W). В то же время множество допустимых состояний для экономики является подмножеством множества допустимых состояний для экономики Е\. Поэтому не исключена ситуация, в которой Паре- то-оптимум экономики Несложно придумать пример экономики и Парето-

оптимума этой экономики, так чтобы в этом Парето-оптимуме ограничение z{ > 0 оказалось существенным для одного из потребителей, и при снятии этого ограничения можно было бы увеличить полезность одного из потребителей, не уменьшая полезность остальных. Читатель может сконструировать такой пример самостоятельно.

Но даже если в Парето-оптимуме экономики все ограничения z{ > 0 выполняются как строгие неравенства, снятие данных ограничений может позволить осуществить Парето- улучшение. Приведем пример.

Пример 1.

Рассмотрим экономику с одним потребителем (т =1), одним производителем (п= 1) и двумя благами (/+1 = 2). Для упрощения обозначений индексы будем опускать. Предпочтения потребителя заданы функцией v(x) = Ъх3 - 9ж2+ 6.9ж, а технологическое множество фирмы — функцией издержек с(х) = х4. Обе функции являются возрастающими при х > 0, поэтому у=х, г= с(х) и z + г= со, так что поиск Парето-оптимума сводится к максимизации функции

v(x) - с(х)

Рисунок 34

при ограничениях х > 0 и с(х) < со. Здесь ограничение с(х) < со соответствует ограничению г > 0. Можно переписать последнее ограничение в виде х < с (со).

Пусть со = 1, при этом с (со) = 1. Как видно на Рис. 34 функция v(x)-c(x) имеет два локальных максимума: хл ~ 0.83473 и х2~ 1.6988. Только второй из этих максимумов является глобальным.

Парето-оптимум экономики ?% достигается при х= хл, поскольку максимизация идет на отрезке [0, 1]. В то же время Парето- оптимум экономики ?i и, следовательно, решение задачи (W) достигается при х = х2. ^

В этом примере ключевым моментом является то, что функция v(-) не является вогнутой. Можно было построить подобный пример иначе: так, чтобы функция v(-) была вогнутой, но функция издержек не была выпуклой. Таким образом, для доказательства аналога первой части предыдущей теоремы в «выпуклой» экономике I Теорема 9.

j 1) Предположим, что функции гь( ) вогнуты, а функции j издержек с-(-) выпуклы, и пусть

j S = {(жь z^, ..., (хт, zj, (уъ i\), ..., (уп, ?\)} —

! Парето-оптимальное состояние в квазилинейной эконо- j мике ?%, причем z{ >0 Vi. Тогда набор 1) : (жь ..., хт, уъ ..., уп)

j является решением задачи (W).

I 2) Обратно, пусть

I (Ж), ..., хт, у1,..., уп)

j является решением задачи (W), причем

I »>. »(// ! и.

! ге I je J

j Тогда существуют такие ..., zrn, гъ ..., гп), что

j {(ж11 Zl)l •••) (жт! гт»)| (i/lJ rl)l •••) (Z/n) Гп)}

j Парето-оптимальное состояние в квазилинейной эконо-

I мике Доказательство.

Доказательство опирается на следующее вспомогательное утверждение: если S — Парето-оптимум в экономике ?%, удовлетворяющий условиям теоремы, то он также является Парето- оптимумом в соответствующей экономике Если это утверждение верно, то доказываемое является тривиальным следствием предыдущей теоремы.

Докажем это вспомогательное утверждение от противного. Пусть в соответствующей экономике ?^ существует допустимое состояние

т ), (Уь »~i), (У?~Jb которое доминирует по Парето состояние S.

Рассмотрим выпуклую комбинацию этих двух состояний: S(a) = aS + (l- a)S, ae [0, 1].

Существует достаточно малое а>0, такое что ,S'(a) является допустимым в экономике ? 0 состояние S(a) представляет собой Парето-улучшение в экономике ?% по сравнению с S, что противоречит предположению теоремы.

Подробное изложение доказательства оставляется в качестве упражнения.

Доказательство оставляется в качестве упражнения.

¦ Приведенные выше результаты позволяют нам в случае квазилинейной экономики использовать задачу (W) для анализа Па- рето-оптимальных состояний. Так как в достаточно широком классе случаев решения задачи (W) описывают Парето-границу, то целевую функцию задачи (W) можно использовать для решения вопроса о принадлежности некоторого допустимого состоя-

ния к Парето-границе. В связи с этим, естественно рассматривать функцию

W(x, у) =T,vt(xt) -Y,c3(y3)

ie I j> J

в качестве индикатора благосостояния.Основанием для этого является следующая теорема. Пусть

S = Zl)l "Ч Zm)j (Уь rl)l "Ч (Уm rn)}l s = ..., (xm, zj, (yu ..., (y„, ?\)} —

допустимые состояния экономики ?i (?2 ). Тогда выполнено следующая теорема.

Теорема 10.

1) Если каждый из потребителей в состоянии S имеет не меньшую полезность, чем в состоянии S, т.е.

vt(xt) + ^ > Vt(xt) + it У г,

и

46

'

iei je J ie I

W(x,y)2W(x,y), причем если существует потребитель г0, такой что

Ui0(Xi0) + Zio > f i0(Xi0) + h (т.е. состояние S доминирует S по Парето), то

W(x,y)>W(x,y). 2) Для экономики ?^ выполнено и обратное: если W(x, y) >W(x, у), и

Е^ + ЕсДУ;) =ЕЮ;,

iei je J ie I

то существуют zt и такие, что состояние экономики

{(ж1; г j), ..., (xm, zm), (у1, ..., (уп, ?'„)}, является допустимым, причем

l'i(Xi) + > vi(%i) + ^

Е^ + ЕсДУ;)

Доказательство.

Доказательство оставляется в качестве упражнения. ¦

Первая часть данного утверждения говорит о том, что любое Парето-улучшение сопровождается ростом индикатора W(-). Смысл второй части приведенного утверждения состоит в том, что если W(x, у) > W(x, у), то можно в состоянии S произвести такие трансферты (перераспределить деньги), что новое состояние будет строго доминировать состояние S по Парето. Заметим, что некоторые z{ при этом могут быть отрицательны.

В Парето-оптимуме квазилинейной экономики индикатор благосостояния достигает максимума. Пусть W — это максимальное значение. Сравнение уровней благосостояния в анализируемом состоянии и в идеальной ситуации позволяют количественно оценить потери благосостояния.

Разность между W и уровнем индикатора VK(S") в некотором состоянии S называется чистыми потерями благосостояния: DL = W-W(S).

Заметим, что на основе Теоремы 8 можно получить полное описание границы Парето экономики Е\.

\ Теорема 11.

| Состояние {(жь zx), ..., (хт, zj, (уъ ..., (у„, г„)} ! является Парето-оптимальным состоянием в квазили- j нейной экономике тогда и только тогда, когда ! (жь ..., хт, у1,..., уп)

\ является решением задачи (W), j '(//! ! и

\ ге/ ге/

Доказательство.

Доказательство оставляется в качестве упражнения. ¦

В ситуации, когда функции г>Д ) строго вогнуты, а функции Cj(-) выпуклы, решение задачи (W) единственно, поэтому два Па-

рето-оптимальных состояния в экономике Е\ (в экономике если zi и zi положительны)

{(жь ^j), ..., (хт, zm), ..., (уп, ?'„)},

{(ж1; ^j), ..., (хт, zm), fj), ..., ?'„)}, могут различаться лишь объемами потребления (7 I I )-го блага. Другими словами, ж;= ж; V г е I и ;t/( V j е J.

Поэтому, как несложно заметить в случае экономики Е\ граница Парето представляет собой гиперплоскость вида (читателю предлагается доказать этот результат самостоятельно)

= const.

iel

В экономике граница Парето может «загибаться» из-за того, что некоторые из ограничений z{ > 0 являются существенными, что иллюстрирует следующий пример.

Пример 2.

На Рис. 36. изображена Парето-граница в экономике типа со следующими параметрами: 2 блага (/ + 1 = 2), 2 потребителя, с функциями полезности

щ = + z j и и2 = + z2, и один производитель с функцией издержек

с(у)=у-

Ui —>- |и2 \ \

10

Рисунок 36. Парето-граница в экономике типа Е2

Начальные запасы 2-го блага равны 10.

Несложно проверить, что решение задачи (W) дает хл = 1 и х2 = 4. Однако это решение описывает точки границы Парето только при щ е [2, 7]. Парето-граница при этом имеет вид

щ = 15 - щ.

При щ е [0, 2] Парето-граница имеет вид

иI2

ч- 11 ~г-

При щ е [7, 11] Парето-граница имеет вид и2 = 4^11 - щ .

Ф

В случае двух благ можно привести графическую иллюстрацию Парето границы экономики типа на основе диаграммы Эджворта (см. Рис. 35). Жирная линия представляет собой границу Парето.

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков. Новосибирск 1999. 1999

Еще по теме 1. Характеристика Парето- оптимальных состояний в квазилинейных экономиках:

  1. 6.1 Характеристика Парето-оптимальных состояний в квазилинейных экономиках
  2. 5.4 Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики
  3. 8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна
  4. 6.2 Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках
  5. 2. Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках
  6. 3. Характеристика поведения производителей в квазилинейных экономиках
  7. 6.3 Характеристика поведения производителей в квазилинейных экономиках
  8. 16.7 Игры и Парето-оптимальность
  9. 10.8 Экстерналии в квазилинейной экономике
  10. 5.4.2 Дифференциальная характеристика границы Парето
  11. Квазилинейная экономика и частное равновесие
  12. 11.2 Квазилинейная экономика с общественными благами