1. Характеристика Парето- оптимальных состояний в квазилинейных экономиках
Квазилинейностью предпочтений потребителей объясняется ряд особых свойств рассматриваемой экономики. В частности, анализировать Парето-оптимальные состояния в квазилинейной экономике можно с помощью следующей задачи оптимизации:
Ег'Дж,) - Есф;) тах
ге I je J
Е'- Е/ • • А;=1,...,/, (W)
ге I je J
xt > О, ге I,
И J'e J-
Другими словами, верна следующая теорема.
j Теорема 8.
j 1) Пусть
j {(Ж1> Zl), •••) (Хт, Zm), 0)l, rl), •••) (Уп, Гп)}
j Парето-оптимальное состояние в квазилинейной эконо- j мике Е\.
Тогда набор ! (Ж), ..., хт, у1,..., уп)\ является решением задачи (W). j 2) Обратно, пусть
I (Ж), ..., Хт, У), ..., уп)
j является решением задачи (W). j Тогда существуют такие ..., zm, ги ..., гп), что
т ), (iiu п), ¦¦¦, (уп, — I Парето-оптимальное состояние в квазилинейной эконо- j мике ?i-
Доказательство.
1) Напомним, что каждое Парето-оптимальное состояние,
т
при любом г0е I является решением следующей задачи математического программирования:
Via(xia) + zia max
Vi(Xi) + zi^ Vi(Xi) + zi} i Ф г0
ге J je J
Хл + X»v < Хю,
ге J je J iel
'' ' (//!• ./<
жг>0, ге I, 0, je J.
Как несложно показать, в этой задачи первое, третье и четвертое неравенства можно заменить на равенства, не изменяя множество решений задачи. Выражая из этих равенств z{ и и исключая их из оставшихся неравенств, видим, что данная задача сводится к задаче (W).
2) Пусть теперь (жь ..., хт, уъ ..., у„) является решением задачи (W). Мы можем взять г - = с -(у ¦) Vj. Рассмотрим произвольные г ¦, такие что их сумма равна
ге I ге I je /
Легко увидеть, что состояние
= {(Ж11 •"! (Ж»1! гт)| (У11 ''Ol "-1 (Уп1 Гп)} является допустимым состоянием экономики Е\. Докажем, что оно Парето-оптимально. Пусть это не так, и существует другое допустимое состояние экономики
такое что для всех потребителей (iel)
vt(xt) + 2t > г>г(жг)+?,, и существует по крайней мере один потребитель г0, для которого выполнено
г>;0(Ж;0) + > г>;0(Ж;0) + ?;„.
Складывая эти неравенства, получаем
Ег',(ж,) + ES, > Ег',(ж,) + Е5, • (* *)
ге J ге J ге J ге J
Поскольку <§ — допустимое состояние, то
Ег, + < Ею,
ге J у ./ ге J
откуда
ге J ге J je J
Складывая (*), (**) и (***), получаем
Ег'Дж,) - Ес,(У;) > Ег'Хж,) - Ес,(У;)-
ie I j> / iei je J
Поскольку (Sj, ..., хт, уи ..., уп) является допустимым в задаче (W), то это означает, что существование состояния S противоречит оптимальности (хъ ..., хт, у1} ..., уп) в задаче (W).
¦В случае экономики первая часть доказанной теоремы для экономики 2 в общем случае не верна (см. нижеприведенный пример). Вторая часть верна при дополнительном предположении о том, что совокупные начальные запасы достаточно велики.
Как видно из вышеприведенной теоремы, задача поиска Па- рето-оптимума для экономики Е\ эквивалентна задаче (W). В то же время множество допустимых состояний для экономики является подмножеством множества допустимых состояний для экономики Е\. Поэтому не исключена ситуация, в которой Паре- то-оптимум экономики 2 не является Парето-оптимумом экономики Е\ и, следовательно, не будет решением задачи (W).
Несложно придумать пример экономики и Парето-
оптимума этой экономики, так чтобы в этом Парето-оптимуме ограничение z{ > 0 оказалось существенным для одного из потребителей, и при снятии этого ограничения можно было бы увеличить полезность одного из потребителей, не уменьшая полезность остальных. Читатель может сконструировать такой пример самостоятельно.
Но даже если в Парето-оптимуме экономики все ограничения z{ > 0 выполняются как строгие неравенства, снятие данных ограничений может позволить осуществить Парето- улучшение. Приведем пример.
Пример 1.
Рассмотрим экономику с одним потребителем (т =1), одним производителем (п= 1) и двумя благами (/+1 = 2). Для упрощения обозначений индексы будем опускать. Предпочтения потребителя заданы функцией v(x) = Ъх3 - 9ж2+ 6.9ж, а технологическое множество фирмы — функцией издержек с(х) = х4. Обе функции являются возрастающими при х > 0, поэтому у=х, г= с(х) и z + г= со, так что поиск Парето-оптимума сводится к максимизации функции
v(x) - с(х)
Рисунок 34
при ограничениях х > 0 и с(х) < со. Здесь ограничение с(х) < со соответствует ограничению г > 0. Можно переписать последнее ограничение в виде х < с (со).
Пусть со = 1, при этом с (со) = 1. Как видно на Рис. 34 функция v(x)-c(x) имеет два локальных максимума: хл ~ 0.83473 и х2~ 1.6988. Только второй из этих максимумов является глобальным.
Парето-оптимум экономики ?% достигается при х= хл, поскольку максимизация идет на отрезке [0, 1]. В то же время Парето- оптимум экономики ?i и, следовательно, решение задачи (W) достигается при х = х2. ^В этом примере ключевым моментом является то, что функция v(-) не является вогнутой. Можно было построить подобный пример иначе: так, чтобы функция v(-) была вогнутой, но функция издержек не была выпуклой. Таким образом, для доказательства аналога первой части предыдущей теоремы в «выпуклой» экономике 2 следует потребовать, чтобы все функции гь(-) были вогнутыми, а функции '',(У,) — выпуклыми. Аналогом этой теоремы для случая экономики ?% является следующая теорема.
I Теорема 9.
j 1) Предположим, что функции гь( ) вогнуты, а функции j издержек с-(-) выпуклы, и пусть
j S = {(жь z^, ..., (хт, zj, (уъ i\), ..., (уп, ?\)} —
! Парето-оптимальное состояние в квазилинейной эконо- j мике ?%, причем z{ >0 Vi. Тогда набор 1) : (жь ..., хт, уъ ..., уп)
j является решением задачи (W).
I 2) Обратно, пусть
I (Ж), ..., хт, у1,..., уп)
j является решением задачи (W), причем
I »>. »(// ! и.
! ге I je J
j Тогда существуют такие ..., zrn, гъ ..., гп), что
j {(ж11 Zl)l •••) (жт! гт»)| (i/lJ rl)l •••) (Z/n) Гп)}
j Парето-оптимальное состояние в квазилинейной эконо-
I мике 2-
Доказательство.
Доказательство опирается на следующее вспомогательное утверждение: если S — Парето-оптимум в экономике ?%, удовлетворяющий условиям теоремы, то он также является Парето- оптимумом в соответствующей экономике Если это утверждение верно, то доказываемое является тривиальным следствием предыдущей теоремы.
Докажем это вспомогательное утверждение от противного. Пусть в соответствующей экономике ?^ существует допустимое состояние
т ), (Уь »~i), (У?~Jb которое доминирует по Парето состояние S.
Рассмотрим выпуклую комбинацию этих двух состояний: S(a) = aS + (l- a)S, ae [0, 1].
Существует достаточно малое а>0, такое что ,S'(a) является допустимым в экономике ? Подробное изложение доказательства оставляется в качестве упражнения. Доказательство оставляется в качестве упражнения. ния к Парето-границе. В связи с этим, естественно рассматривать функцию W(x, у) =T,vt(xt) -Y,c3(y3) ie I j> J в качестве индикатора благосостояния.Основанием для этого является следующая теорема. Пусть S = Zl)l "Ч Zm)j (Уь rl)l "Ч (Уm rn)}l s = ..., (xm, zj, (yu ..., (y„, ?\)} — допустимые состояния экономики ?i (?2 ). Тогда выполнено следующая теорема. Теорема 10. 1) Если каждый из потребителей в состоянии S имеет не меньшую полезность, чем в состоянии S, т.е. vt(xt) + ^ > Vt(xt) + it У г, и 46 ' iei je J ie I W(x,y)2W(x,y), причем если существует потребитель г0, такой что Ui0(Xi0) + Zio > f i0(Xi0) + h (т.е. состояние S доминирует S по Парето), то W(x,y)>W(x,y). 2) Для экономики ?^ выполнено и обратное: если W(x, y) >W(x, у), и Е^ + ЕсДУ;) =ЕЮ;, iei je J ie I то существуют zt и такие, что состояние экономики {(ж1; г j), ..., (xm, zm), (у1, ..., (уп, ?'„)}, является допустимым, причем l'i(Xi) + > vi(%i) + ^ Е^ + ЕсДУ;) Доказательство. Доказательство оставляется в качестве упражнения. ¦ Первая часть данного утверждения говорит о том, что любое Парето-улучшение сопровождается ростом индикатора W(-). Смысл второй части приведенного утверждения состоит в том, что если W(x, у) > W(x, у), то можно в состоянии S произвести такие трансферты (перераспределить деньги), что новое состояние будет строго доминировать состояние S по Парето. Заметим, что некоторые z{ при этом могут быть отрицательны. В Парето-оптимуме квазилинейной экономики индикатор благосостояния достигает максимума. Пусть W — это максимальное значение. Сравнение уровней благосостояния в анализируемом состоянии и в идеальной ситуации позволяют количественно оценить потери благосостояния. Заметим, что на основе Теоремы 8 можно получить полное описание границы Парето экономики Е\. \ Теорема 11. | Состояние {(жь zx), ..., (хт, zj, (уъ ..., (у„, г„)} ! является Парето-оптимальным состоянием в квазили- j нейной экономике тогда и только тогда, когда ! (жь ..., хт, у1,..., уп) \ является решением задачи (W), j '(//! ! и \ ге/ ге/ Доказательство. Доказательство оставляется в качестве упражнения. ¦ В ситуации, когда функции г>Д ) строго вогнуты, а функции Cj(-) выпуклы, решение задачи (W) единственно, поэтому два Па- рето-оптимальных состояния в экономике Е\ (в экономике если zi и zi положительны) {(жь ^j), ..., (хт, zm), ..., (уп, ?'„)}, {(ж1; ^j), ..., (хт, zm), fj), ..., ?'„)}, могут различаться лишь объемами потребления (7 I I )-го блага. Другими словами, ж;= ж; V г е I и ;t/( V j е J. Поэтому, как несложно заметить в случае экономики Е\ граница Парето представляет собой гиперплоскость вида (читателю предлагается доказать этот результат самостоятельно) = const. iel В экономике граница Парето может «загибаться» из-за того, что некоторые из ограничений z{ > 0 являются существенными, что иллюстрирует следующий пример. Пример 2. На Рис. 36. изображена Парето-граница в экономике типа со следующими параметрами: 2 блага (/ + 1 = 2), 2 потребителя, с функциями полезности щ = + z j и и2 = + z2, и один производитель с функцией издержек с(у)=у- Ui —>-
|и2
\
\ 10 Рисунок 36. Парето-граница в экономике типа Е2 Начальные запасы 2-го блага равны 10.
Несложно проверить, что решение задачи (W) дает хл = 1 и х2 = 4. Однако это решение описывает точки границы Парето только при щ е [2, 7]. Парето-граница при этом имеет вид щ = 15 - щ. При щ е [0, 2] Парето-граница имеет вид иI2 ч- 11 ~г- При щ е [7, 11] Парето-граница имеет вид и2 = 4^11 - щ . Ф В случае двух благ можно привести графическую иллюстрацию Парето границы экономики типа на основе диаграммы Эджворта (см. Рис. 35). Жирная линия представляет собой границу Парето.
Еще по теме 1. Характеристика Парето- оптимальных состояний в квазилинейных экономиках:
- 6.1 Характеристика Парето-оптимальных состояний в квазилинейных экономиках
- 5.4 Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики
- 8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна
- 6.2 Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках
- 2. Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках
- 3. Характеристика поведения производителей в квазилинейных экономиках
- 6.3 Характеристика поведения производителей в квазилинейных экономиках
- 16.7 Игры и Парето-оптимальность
- 10.8 Экстерналии в квазилинейной экономике
- 5.4.2 Дифференциальная характеристика границы Парето
- Квазилинейная экономика и частное равновесие
- 11.2 Квазилинейная экономика с общественными благами