<<
>>

1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения

Обычно в микроэкономике описание предпочтений с помощью бинарных отношений используется в качестве отправной точки анализа рационального выбора потребителя. Но возможен и другой подход, отправной точкой которого непосредственно является выбор участника.

Преимущество такого подхода состоит в следующем: мы можем наблюдать выбор участника, но не его предпочтения. Однако в некотором достаточно широком классе случаев подход, основанный на выборе, полностью эквивалентен подходу, основанному на предпочтениях, в том смысле, что возможно по известному выбору построить отношение предпочтения, которое порождает этот выбор. С другой стороны, подход, основанный на предпочтениях, позволяет построить более богатую теорию.

Для описания выбора участника в теории выбора вводятся понятия СИТуаЦИИ Выбора и правила выбора, определенного на множестве ситуаций выбора. Ситуация выбора — это некоторое подмножество множества допустимых (физически) альтернатив X, с которым участник сталкивается и из которого он может выбирать.

Определение 9.

X

Пусть А — множество ситуаций выбора (Лс 2 ). Правило выбора С(.) ставит в соответствие каждой ситуации выбора А из А непустое множество С(А) выбранных альтернатив, каждая из которых является элементом А, т.е. С(А) с А.

Рациональность потребителя в терминах функции выбора выражается в «аксиоме выбора Хаутеккера».

Аксиома выбора Хаутеккера (Аксиома выявленных предпочтений)

Пусть А и А' — две ситуации выбора и альтернативы х, у принадлежат как А, так и А'. Если х е С(А), а у е С(А'), то х е С(А').

Смысл данного свойства прозрачен. Если подразумевать, что потребитель рационален в том смысле, что выбирает в любой ситуации выбора "лучшие" альтернативы, то данная аксиома устанавливает условие непротиворечивости его выбора.

\ Определение 10. ;

^ Будем говорить, что альтернатива ж Нестрого ВЫЯВЛеННО ПреДПОЧИТЭ- /

х етСЯ альтернативе у, если существует ситуация выбора^, такая что х, у е А и х е /

в дальнейшем нестрогое отношение выявленного предпочтения

будем обозначать и говорить, что х выявленно не хуже у, когда х у.

Смысл этого определения состоит в том, что если была выбрана альтернатива х в ситуации выбора, когда была доступна также альтернатива у, значит, х не может быть хуже у.

\ Определение 11. ;

х Будем говорить, что альтернативах СТрОГО ВЫЯВЛеНННО ПреДПОЧИТавТ- /

^ СЯ альтернативе у, если существует ситуация выбора А, такая что х, у е А и х е /

Строгое отношение выявленного предпочтения будем обозначать ^

R и говорить, что х выгявленно лучше у, когда х у. Смысл этого определения состоит в том, что если в какой-то ситуации выбора были доступны как х, так и у, но альтернатива х была выбрана, а альтернатива у — нет, значит, х лучше у.

Аксиому выбора Хаутеккера можно переформулировать в терминах выявленных предпочтений:

Если х выявленно не хуже у, то у не может быть выявленно лучше х, т.е.

(х у) ^ п (у >-R х).

Рациональность потребителя в терминах предпочтений тесно связана с рациональностью выбора потребителя, как она сформулирована в аксиоме выбора Хау- теккера.

Утверждение 6.

Пусть правило выбора С(А) определено на множестве ситуаций выбора А и при этом

выполнена аксиома выбора Хаутеккера;

А содержит все двух- и трехэлементные подмножества X.

Тогда нестрогое отношение выявленного предпочтения ):R, соответствующее правилу выбора С(А)

полно,

транзитивно.

Доказательство:

(1) Пусть х, у — две альтернативы из X. Ситуация выбора {х, j} должна принадлежать А, так как это двухэлементное подмножество X. Поскольку по определению

С({х, j}) не должно быть пустым, то либо хеС({х, j}), либо ^еС({х, j}). То есть либо х Ук у, либо у УR х.

(2) Пусть х, у, z — три альтернативы из X, такие что х Ук у и у Ук z. Ситуация выбора {х, у, z} должна принадлежать А, так как это трехэлементное подмножество X.

Покажем, что хе С({х, у, z}). Если уе С({х, у, z}), то из аксиомы выбора Хаутеккера следует, что хе С({х, у, z}), поскольку х Ук у. Аналогично, если z е С({х, у, z}), то хеС({х, у, z}). Поскольку С({х, у, z}) непусто, то в любом случае хе С({х, у, z}).

Это влечет за собой, что

х У* z.

¦

Данное утверждение показывает, что выбор на основе правила выбора, удовлетворяющего аксиоме Хаутеккера, можно «рационализировать» как выбор на основе некоторого отношения предпочтения. Заметим, что, как будет показано ниже, справедливо и обратное.

Если заданы предпочтения У , то правило выбора потребителя, соответствующее этим предпочтениям естественно определить следующим образом: Су(А) = {хеА | х : у V уеА}.

Утверждение 7.

Пусть праило выбора С^(А) соответствует транзитивному нестрогому отношению предпочтения У. Тогда это правило выбора удовлетворяет аксиоме выбора Хаутеккера.

Доказательство:

Пусть х Ук у. Это означает, что в некоторой ситуации выбора А как х, так и у можно было выбрать (х, у е А) и среди выбранных альтернатив была альтернатива х (хе С>.(А)). Поскольку правило С^(А) порождено нестрогим отношением предпочтения то х У у. Пусть в некоторой другой ситуации выбора А' как х, так и у можно было выбрать (х, у е А') и среди выбранных альтернатив была альтернатива у (у е С>.(А')). Это означает, что у У z V z е А'. Из транзитивности следует, что то же самое должно быть верным для х, т.е. х У z V z е А'. Таким образом, х е С>.(А'), то

есть аксиома Хаутеккера выполнена.

¦

Покажем теперь, что если множество ситуаций выбора, на котором определено правило выбора, достаточно богато, то подход, берущий за основу правило выбора, эквивалентен подходу, берущему за основу предпочтения.

Утверждение 8.

Пусть выполнены условия Утверждения 6. Тогда правило выбора СК(А), порожденное нестрогим отношением выявленного предпочтения Ук, сопадает с исходным правилом выбора на А, т.е.

С^А) = С(А) V Ае А.

Доказательство':

(С(А) с СR(А))

Пусть х е С(А). Тогда по определению нестрогого выявленного предпочтения х У11 у Vу е А. Отсюда видно, что х е С^А). (С^А) с С(А»

Пусть х е С (А). Поскольку множество С(А) непусто, то существует альтернатива у еС(А). Условие х е С1(А) означает, что для произвольной альтернативы z е А, в том числе и для у, выполнено х У1 z, то есть существует такая ситуация выбора А', что х ,у е А' и х е С(А').

Таким образом, мы имеем х ,у е А', х ,у е А, х е С(А') и j еС(А).

По аксиоме

Хаутеккера это означает, что х е С(А). ¦

Тесты и задачи для самостоятельного решения

Нестрогое отношение выявленного предпочтения всегда обладает свойством

полноты;

транзитивности;

рефлексивности.

Пусть множество альтернатив X конечно. Тогда функция выбора С(.), определенная на всех подмножествах множества X, удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений Хаутеккера, если

правило (функция) выбора является вогнутым;

выбор участника может быть описан полным и транзитивным отношением предпочтения;

функция спроса участника может быть получена на основе сравнения потребительских излишков.

Множество альтернатив X конечно и состоит из 3 элементов X = {х, у, z}. Участник осуществляет свой выбор на его подмножествах А 1={х,у}, А 2={х, у, z}. Выбор участника описывается функцией выбора С(.). Какие из нижеприведенных правил выбора не удовлетворяют аксиоме выявленных предпочтений?

С1({х,у})={х}, С1({х,у, z^c^};

С2({х,у})={х}, С2({х,у, z})={j};

С3({х,у})={х,у}, С3({х,у, z})^,у}.

Множество альтернатив X конечно и состоит из 3-х элементов X = {х, у, z}. Участник осуществляет свой выбор на его подмножествах А1={х,у}, А 2={у, z}, А3={х, z}. Выбор участника описывается функцией выбора С(.), при этом С(А 1) = {х}, С(А 2) = {у}, С(А 3) = {z}. Какие из нижеприведенных высказываний справедливы?

1) Выбор удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений. 2) Выбор участника представим некоторым отношением предпочтения. ¦ 1; ¦ 2; ¦ 1, 2.

Какому из перечисленных утверждений эквивалентна аксиома выявленных предпочтений?

Пусть X — множество альтернатив. Пусть А, А' с X и кроме того х, у е А и х, у е А'.

Тогда из того, что х е С(А) и у е С(А') следует х, у е С(А) и х, у е С(А'), где С(.) — функция выбора.

Пусть X — множество альтернатив. Тогда из того, что хе А и у е А' следует хе А' и у е А, где А, А' с X некоторые подмножества X.

Пусть X — множество альтернатив. Пусть А, А' с X и кроме того х е С(А) и у е С(А'), где С(.) — функция выбора. Тогда х, у е А и х, у е А'.

Пусть X — множество альтернатив.

Пусть А, А' е X и кроме того х,у е А и х, у е А'.

Тогда из того, что х е С(А) и у е С(А) следует {х, у} е С(А) и {х, у} е С(А'), где С(.) — правило выбора. Данное свойство является:

формулировкой транзитивности отношения выявленного предпочтения;

формулировкой аксиомы выявленных предпочтений, в которой допущена ошибка;

формулировкой аксиомы выявленных предпочтений.

Пусть X — множество альтернатив. Рассмотрим А, А' е X и такие наборы х, у, что х,у е А и х,у е А'. Тогда из того, что х е С(А) и у е С(А') следует у е С(А) и х е С(А '), где С(.) — функция выбора.

Данное свойство является:

формулировкой транзитивности отношения выявленного предпочтения;

формулировкой аксиомы выявленных предпочтений, в которой допущена ошибка;

формулировкой аксиомы выявленных предпочтений.

Отношение выявленного предпочтения обладает свойством полноты, если...

правило выбора задано на множестве всех подмножеств множества альтернатив;

отношение выявленного предпочтения отрицательно транзитивно;

отношение выявленного отношения удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений.

Пусть множество альтернатив X конечно и состоит из 3-х элементов X=^,у, z}. Участник осуществляет свой выбор на его подмножествах А1 = {х, у}, А2={х, у, z}. Выбор участника описывается функцией выбора С(.).

Отношение выявленного предпочтения заданное для данной ситуации

не будет удовлетворять аксиоме выявленных предпочтений;

не будет полным;

будет обладать свойством транзитивности.

10. Одно из необходимых условий для того, чтобы отношение выявленного предпочтения было транзитивно состоит в том, что

правило выбора непрерывно;

отношение выявленного предпочтения рефлексивно;

правило выбора задается на всех трехэлементных подмножествах множества альтернатив.

Пусть функция СЦ.) сопоставляет каждому непустому подмножеству А множества X совокупность его наилучших по У элементов

(С^(А) = (же А | не существует у еА, такой, что у У х). Покажите, что если нестрогое и строгое отношения предпочтения связаны соотношением

х У у ^ х У у, но не у У х,

то построенные на их основе правила выбора совпадут, то есть область определения А у них будет одинаковой и

СДА) = а(А) V А еА.

Пусть множество альтернатив X конечно, определенное на нем отношение предпочтения У антисимметрично и отрицательно транзитивно, а функция С(.) сопоставляет каждому непустому подмножеству А множества X совокупность его наилучших по У элементов

(С^(А) = (же А | не существует у еА, такой, что у У х).

Покажите, что

для всякого А множество С^(А) не пусто, а функция С^(А) удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений Хаутеккера;

если С(А) с А — произвольная функция выбора, сопоставляющая каждому непустому подмножеству А непустое подмножество его элементов и удовлетворяющая аксиоме выбора Хаутеккера, то существует антисимметричное и отрицательно транзитивное отношение предпочтения У, такое что

С(А) = С (А).

1.3. Представление предпочтений функцией полезности

Мы показали при достаточно естественных предположениях эквивалентность трех подходов к описанию предпочтений участников: ¦¦¦ Первоначально задано нестрогое отношение предпочтения; ¦¦¦ Первоначально задано строгое отношение предпочтения;

¦¦¦ Первоначально задана функция выбора участника на множестве ситуаций выбора.

Далее мы будем строить свои рассуждения, беря за основу нестрогое отношение предпочтения, но следует отметить, что нижеприведенные рассуждения можно перенести на случай двух других походов. В этом разделе мы рассмотрим условия, при которых на основании нестрогого отношения можно получить числовой индикатор полезности (функцию полезности) с некоторыми наперед заданными свойствами.

Удобно (особенно в приложениях теории) иметь дело с ситуациями, когда предпочтения потребителя описываются функцией полезности. Мы всюду будем предполагать, что область значения функции полезности — это действительная прямая, т.е. данная функция является вещественнозначной.

Определение 12.

Будем называть и(.): Х^К функцией ПОЛеЗНОСТИ потребителя, соответствующей нестрогому отношению предпочтения если для всякой пары альтернатив х, у е Х х Уу верно тогда и только тогда, когда и(х) ^ и(у), т.е. х Уу ^ и(х) ^ и(у).

'///////////////////////////////////////////////////////////////////////У/

Какие свойства предпочтений (и множества альтернатив, на которых заданы предпочтения) гарантируют существование функции полезности?

Следующее утверждение описывает необходимое условие существования функции полезности.

Утверждение 9.

Если функция полезности существует, то нестрогое отношение предпочтения является

полным,

транзитивным.

Утверждение 10.

Если множество альтернатив счетно, то для любого полного и транзитивного нестрогого отношения предпочтения существует функция полезности.

Доказательство:

Пусть множество альтернатив счетно. Тогда его можно представить в виде последовательности альтернатив х , "=1, 2, ... . Доказательство утверждения строится в виде алгоритма.

Пусть мы уже присвоили величину полезности первым N альтернативам из данной последовательности. Требуется присвоить величину полезности альтернативе

N+l n aN t 1 N.

х . Рассмотрим два подмножества множества А = {х ,..., х }:

aN ( aNi N+U N , .N, N+l .

А+ = {хеА | х > х } и А_ = {хеА | х > х}. Обозначим х такой элемент множества А^ что х : х V хе А1. В случае неединственности такого элемента берем любой из них. Так же точно обозначим х такой

NN

элемент множества А_, что х > х VхеА_. Существование х (при непустом множестве А^) и х (при непустом множестве А^) следует из полноты и транзитивности отношения Доказательство этого оставляется в качестве упражнения. Возможны 4 случая:

= 0. Тогда можно взять и(хт1) = и(х) + 1.

А = 0. Тогда можно взять и(хт1) = и(х) - 1.

А^Г П АN = 0. Тогда можно взять и(хт1) = (и(х) + и(х))/2.

А П А Ф 0. В этом случае берем и(хт1) = и(х), где х — произвольный элемент

N N N N

множества А+ П А_ (по построению все элементы множества А+ П А_ имеют одну и ту же полезность).

Чтобы закончить алгоритм, положим А1 = {х1} и и(х1) = 0. Заметим, что при таком построении функции полезности свойство х >у ^ и(х)>и(у)

выполнено V х,^ е АN при любом N. Поэтому построенная таким образом функция

и(.) действительно является функцией полезности. ¦

Если же множество альтернатив не является счетным, то утверждение в общем случае неверно, что показывает, например, нестрогое отношение предпочтения на основе лексикографического упорядочения потребительских наборов из К+ .

Лексикографическое упорядочение называется так, поскольку оно подобно правилу расположения слов в словаре. Для простоты рассмотрим в качестве множества

допустимых альтернатив положительный ортант двумерного пространства, т.е.

2

X=K+. Зададим бинарное отношение >L определяемое по правилу V х, у е X (х :L j) ^ ( (%1 > &i) или ( %1 = & 1, %2 ^ Ут) ). Как нетрудно показать, этот бинарное отношение обладает свойствами полноты и транзитивности. Однако, оно не представляется никаким численным индикатором. Докажем последнее.

Предположим противное. Пусть существует некоторая функция полезности (принимающая действительные значения) такая, что х yLу ^ UL(%I, Х2) > UL(&I, &2).

Сопоставим каждому действительному числу xi некоторое рациональное число r(%i) такое, что

ul(%i, 2) > R(XI) > ul(%i,1).

Заметим, что если xi > xi', то по определению лексикографического упорядочения имеем

ul(%i,1) > ul(%i', 2).

Кроме того,

ul(%i, 2) > R(XI) > ul(%i,1) И ul(%i', 2) > R(XI') > ul(%i',1).

В силу этих соотношений имеем

r(xi) > UL(%I,1) > UL(%I', 2) > r(xi') и тем самым из того, что xi > xi' имеем, что r(xi) > r(xi'). В силу этого r(.) является взаимооднозначной функцией, область определения которой — вещественные числа, а область значения — рациональные (точнее сказать, некоторое подмножества множества рациональных чисел), но это невозможно, так как невозможно построить взаимооднозначное соответствие между счетным и несчетным множествами. Таким образом, мы пришли к противоречию, и, тем самым доказали, что не существует функции полезности, соответствующей лексикографическому упорядочиванию.

Отметим, однако, что все-таки существует ряд случаев, для которых можно гарантировать существование функции полезности в случае несчетного множества альтернатив. Например, функция полезности существует, если предпочтения непрерывны.

Определение 13.

Отношение Я называется непрерывным, если для любых сходящихся последовательностей {хи} , {уп}, таких что хи Я уп, выполнено ХЯ у, где X = lim„^^Xn и где у = п.

'///////////////////////////////////////////////////////////////////////У/

Несложно показать, что если функция полезности и(х) непрерывна, то нестрогое отношение предпочтения У непрерывно. Дебре доказал и обратное:

Утверждение 11.

Пусть нестрогое отношение предпочтения У полно, транзитивно и непрерывно. Тогда существует представляющая его непрерывная функция полезности.

Доказательство этого результата сложно, поэтому приводим его без доказательства. Ниже мы докажем более слабое утверждение.

Рассмотрим теперь дополнительные качественные свойства, которыми могут обладать предпочтения. Наиболее естественным из них является свойство моно-

тонности, которое гарантирует нам, что полезность индивидуума возрастает при росте количества потребляемых товаров.

\ Определение 14. ;

х Отношение предпочтения является МОНОТОННЫМ, если из х > у следует х у у. / ^ Отношение предпочтения является СТрОГО МОНОТОННЫМ, если из х ^у и х Фу

\ следует ж у у. /

Утверждение 12.

Пусть нестрогое отношение предпочтения у, определенное на Х = К+, полно, транзитивно, строго монотонно и непрерывно. Тогда существует представляющая его строго монотонная непрерывная функция полезности.

Доказательство:

В качестве функции полезности можно взять соответствие, которое сопоставляет каждому хе К такое число и(х), что

х ~ и(х) 1,

где 1 — /-мерный вектор, состоящий из единиц. Покажем, что такое число и(х) всегда существует и единственно.

Для этого мы должны найти для каждого набора х эквивалентный ему набор из множества U = {и1 | иеК+}, которое является лучом, выходящим из начала координат. Сопоставим рассматриваемому набору х множество чисел и, соответствующих не худшим наборам из U

U+(х) = {и еК+ | и 1 ух}

и множество чисел и, соответствующих не лучшим наборам из U ((х) = {и еК+ | х у и 1}.

Эти множества не пусты, так как из свойства строгой монотонности следует, что

Ое U (х) и max{x^}e(+(х) (максимальный элемент вектора х).

Множество U (х) лежит выше U (х) поскольку из строгой монотонности следует, что VU^ U (х) и Уи2е U+(х) выполнено UiОбозначим и+ = inf{U (х)} и и = sup{U (х)}. Эти величины конечны, так как множества U (х) и U (х) ограничены сверху и снизу соответственно. По непрерывности предпочтений и е U (х) и и е U (х). При этом и+ ^ и . Покажем, что и+ = и . Пусть это не так. Тогда существует число и такое, что и < и < и , так что и'? U (х) и и'? U (х). Это противоречит полноте предпочтений, так как либо и 1 у х, либо и 1 < х.

Полученная точка и = и = и удовлетворяет требуемому условию х ~ и 1 и единственна.

Заданная таким образом функция и(х) является функцией полезности. Пусть х1 У х2. По построению х1 ~ и(х^ 1 и х2 ~ и(х2) 1. Значит, х1 у х2 тогда и только то-

гда, когда и(х1) 1 > и(хт) 1. Но из строгой монотонности и(х1) 1 > и(хг)1 тогда и только тогда, когда и(х1) ^ и(хг).

Функция полезности и(х) является строго монотонной. Пусть х1 ^ хт и х1 Ф хт. Тогда из строгой монотонности предпочтений х1 > хт. Отсюда следует, что и(х1) 1 > и(хг)1. Поэтому и(х1) > и(хг).

Докажем теперь непрерывность функции полезности и(х). Для доказательства непрерывности функции полезности рассмотрим последовательность {х„}Г=1 такую, что lim„ ^ ^ х„ = х. Нам надо показать, что lim„ ^ ^ и(х„) = и(х). Зафиксируем некоторое число ? > 0. Заметим, что можно выбрать ии X такие, что для любого вектора у из ?-окрестности точки х (т.е. ||у - х || < ?) выполнено

xD1 < у < X 1.

Например, можно взять и = ттк{хк} - 2? и X = тахк{хк} + 2?. Как нетрудно заметить, по строгой монотонности мы имеем и < и(у) < X. Для любой сходящейся подпоследовательности из {х„}Г=1 найдется достаточно большое число N такое что при п > N имеем ||х„ - х|| < ?, т.е. последовательность начиная с номера N + 1 попадает в ?-окрестность точки х. Тогда, как мы показали выше, и(х„) попадает в интервал [x ,и].

Покажем теперь, что любая сходящаяся подпоследовательность из последовательности {х^П^^АЧ сходится к одному и тому же числу и(х). (Отметим, что так как бесконечная последовательность {и(х„)}„=А+1 задана на компакте [х ,и], то она должна иметь точки сгущения. Мы хотим показать что существует всего одна точка сгущения и это и(х). )

Рассмотрим теперь некоторую сходящуюся подпоследовательность{и(хИ4)}к=1 из {и(х„)}„=А+ь Пусть эта последовательность сходится к X и при этом XX Ф и(х). Предположим что X > и(х). Возьмем некоторое число X, такое что X > X > и(х). По свойству строгой монотонности имеем, что X 1 > и(х) 1. Поскольку {и(х„4)}к=1 сходится к X, то существует М такое, что при к > М выполнено и(х„к) > X. По определению функции полезности хИк ~ и(хИк)1 и, кроме того, по строгой монотонности и(хИк)1 > X1 (V к > М), т.е. хПк ~ и(хИк) 1> X 1. Так как предпочтения непрерывны, то х > X 1, но х ~ и(х)1, поэтому и(х) 1 : X 1. Однако выше было показано, что XX 1 > и(х) 1. Получили противоречие и тем самым доказали непрерывность построенной функции полезности.

¦

Ряд нижеприведенных свойств отношений предпочтений и представляющих их функций полезности используются при характеристике важных частных случаев моделей рационального поведения.

Вместо свойства строгой монотонности часто можно использовать более слабое свойство локальной ненасыщаемости. Локальной ненасыщаемости обычно оказы-

вается достаточно для доказательства тех свойств выбора, которые следуют из строгой монотонности предпочтений.

Определение 15.

Предпочтения называются ПОКалы-Ю ненасыщаемыми, если для любого допустимого набора х в любой его окрестности найдется другой допустимый набор х, такой что х -< х.

\ -1—г * /

(Под е-окрестностью точки х можно понимать множество таких точек х, что

\ к ^ * 2 * ^

- х, < е, т. е. сфера радиуса е с центром в точке х ).

На рисунке заштрихованы области, в которых могут быть лучшие наборы при локальной ненасыщаемости и при строгой монотонности предпочтений.

Довольно простое поведение потребителя (линейность кривых Энгеля) получаем в ситуации так называемых гомотетичных предпочтений.

Для строгой монотонности

Для локальной ненасыщаемости Рисунок 1 Определение 16.

Отношение предпочтения называется гомотетичным , если

для каждого положительного t tx eJ тогда и только тогда, когда х е J.

для каждого положительного t соотношение

tx У ty

выполняется тогда и только тогда, когда выполняется соотношение

х У y

Отметим, для гомотетичных предпочтений существует однородная функция полезности, представляющая такие предпочтения. Такая характеристика предпочтений позволяет получать сильные результаты, касающиеся поведения потребителей и состояний равновесия, и активно эксплуатируется в теории международной торговли и в макроэкономике при анализе агрегированного спроса.

Следующее свойство, характеризующее «регулярный» случай, рассматриваемый в экономической теории, важно для демонстрации «хороших» свойств функции выбора и доказательства существования равновесия.

Здесь и далее мы будем предполагать, что множество X выпукло.

Определение 17.

Предпочтения являются ВЫПУКЛЫМИ, если V х, у е X: х у и 0 < а < 1 выполнено ах + (1 - а) у > у.

Предпочтения являются СТрОГО ВЫПУКЛЫМИ, если V х, уе X: х >>у, х Фу и 0 < а < 1 выполнено ах + (1 - а) у > у.

Рисунок 2. Пример выпуклых, но не строго выпуклых предпочтений

Напомним, что функция и (.) — вогнута, если

и (ах + (1 - а) у) ^ аи (х) + (1 - а) и (у) V 0 < а < 1. Известно, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и (.) вогнута тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (матрица Гессе) Н отрицательно полуопределена, т.е. z'Hz <0 Vz.

Утверждение 13.

Если функция полезности вогнута, то представляемые ею предпочтения выпуклы.

.Доказательство:

По определению вогнутости и (.) имеем, что V х, у е X и (ах + (1 - а) у) ^ аи (X) + (1 - а) и (у) V 0 < а < 1, Без потери общности считаем, что х ^ у. Тогда и (X) ^ и (у), откуда

и (ах + (1 - а) у) ^ и (у). Воспользовавшись определением функции полезности получим, что ах + (1 - а) у : у V 0 < а < 1.

¦

Обратное не всегда верно. Выпуклость предпочтений эквивалентна квазивогнутости функции полезности.

Напомним, что функция и (.) — квазивогнута, если

и (ах + (1 - а)y) ^ min(u (х), и (y)) V 0 < а < 1. Известно, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и (.) квазивогну- та тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных Н отрицательно полуопределена на гиперплоскости Vu(x) z = 0, т.е.

z'H(x)z <0 для каждого z, такого что Vu(x) z = 0.

Утверждение 14.

Функция полезности квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения выпуклы.

Доказательство'.

Покажем, что из квазивогнутости функции полезности следует выпуклость представляемых ею предпочтений.

По определению квазивогнутости и (.) имеем, что V x, y е J и (ax + (1 - a) j) ^ min(u (х), u (y)) V 0 < а < 1.

Без потери общности считаем, что x у. Тогда и (х) ^ и (у), откуда и (ox + (1 - а) j) ^ и (у).

Воспользовавшись определением функции полезности получим, что OX + (1 - а) у У у V 0 < а < 1.

Теперь покажем обратное. Считаем, что x у. Тогда по определению выпуклости предпочтений

OX + (1 - а) у У у V 0 < а < 1.

По определению функции полезности

и (ах + (1 - а) j) ^ и (у) = min(u (х), и (у)) V 0 < а < 1.

¦

Помимо вогнутости функции, нам в дальнейшем понадобится понятие строгой вогнутости и строгой квазивогнутости. Функция и (.) — строго вогнута, если и (ах + (1 - а) j) > аи (х) + (1 - а) и (у) V 0 < а < 1.

Функция и (.) — строго квазивогнута, если

и (ах + (1 - а) j) > min(u (х), и (у)) V 0 < а < 1.

Основная цель данного параграфа состояла в том, чтобы показать, какие свойства предпочтений гарантируют существования функции полезности и указать на связи между характеристиками предпочтений и соответствующими им свойствами представляющих их функций полезности. Но, кроме этого мы косвенно показали, что функция полезности, представляющая заданные предпочтения, не единственна.

При моделировании предпочтений потребителя часто рассматриваются два подхода. ординалистский и кардиналистский. Ординалистский подход предполагает, что все функции и(.), которые удовлетворяют свойству U(X) ^ и(у) ^ x У у эквивалентны при описании поведения потребителя. Кардиналистский же подход предполагает, что среди этого семейства функций существует подмножество особых

функций, обладающих более «глубокими» свойствами, в том смысле, что с их помощью можно измерить «истинную» полезность, которую получает индивидуум от каждого из наборов благ. Эти функции позволяют сравнивать потребительские наборы количественно, чего нельзя сделать при ординалистском подходе, так как разница величина полезности в последнем случае не имеет содержательной интерпретации.

7есты и задачи для самостоятельного решения

Если множество альтернатив конечно, то для существования функции полезности достаточно чтобы

предпочтения удовлетворяли аксиоме Хаутеккера

предпочтения были полны и транзитивны

предпочтения были лексикографически упорядочены

Лексикографический порядок не может быть представлен функцией полезности потому что

он не является непрерывным

он является полным

он удовлетворяет свойству монотонности

Свойства функции полезности, которые сохраняются при строго возрастающем преобразовании, называются

ординальными

кардинальными

не обозначаются специальным термином

Свойство локальной ненасыщаемости следует из свойства

монотонности

полноты и выпуклости предпочтений

строгой монотонности

Пусть предпочтения являются полными, транзитивными и непрерывными, тогда

эти предпочтения гомотетичны

функция полезности существует, непрерывна и субаддитивна

существует представляющая их непрерывная функция полезности

Какое из преобразований функции полезности всегда не меняет ее ординалист- ского характера

неубывающее

возрастающее

квазивогнутое

Предпочтения, задаваемые положительно однородной функцией полезности

выпуклы и гомотетичны

строго монотонны и гомотетичны

гомотетичны

Если предпочтения представимы функцией полезности, то они

полны и транзитивны

полны, транзитивны и выпуклы

полны, транзитивны и непрерывны

Какое из нижеприведенных утверждений верно

Если отношение предпочтения монотонно, то оно строго монотонно

Если отношение предпочтения строго монотонно, то оно локально ненасыщаемо

Если отношение предпочтения монотонно, то оно локально ненасыщаемо

Лексикографическое отношение предпочтения

представимо дискретной, но не непрерывной функцией полезности

обладает свойством непрерывности

не представимо функцией полезности

Отношение предпочтения представимо функцией полезности, если оно

полно, транзитивно, непрерывно

ациклично, рефлексивно, полно

полно, непрерывно, рефлексивно

Отношение предпочтения представимо функцией полезности, если

множество альтернатив счетно, отношение предпочтения полно и транзитивно

множество альтернатив счетно, отношение предпочтения полно и ациклично

множество альтернатив конечно, отношение предпочтения транзитивно

Непрерывное, полное, транзитивное и строго монотонное отношение предпочтения гомотетично тогда и только тогда, когда

оно представимо квазилинейной функцией полезности

оно представимо функцией полезности однородной нулевой степени

оно представимо функцией полезности однородной первой степени

Если функция полезности потребителя строго вогнута, то

выполняется закон убывания предельной полезности

она представляет локально ненасыщаемые предпочтения

предельные полезности органичены сверху

Постройте функцию полезности для полного и транзитивного отношения предпочтения, заданного на конечном множестве альтернатив.

Покажите, что

лексикографическое отношение предпочтения на множестве неотрицательных я-мерных векторов задает антисимметричное и отрицательно транзитивное отношение предпочтения,

не существует представляющей его непрерывной функции полезности.

Говорят, что функция полезности u(x) гомотетична, если она имеет вид:

u(x) = g(v(x))

где — g(y) (строго) возрастающая, а ,(x) — однородная первой степени функция.

(а) Покажите, что (выпуклые, локально ненасыщаемые) предпочтения гомотетичны тогда и только тогда, когда существует представляющая их гомотетичная функция полезности.

(б) Покажите, что (выпуклые, локально ненасыщаемые) предпочтения гомотетичны тогда и только тогда, когда существует представляющая их функция полезности, являющаяся положительно однородной первой степени.

Покажите, что из строгой монотонности предпочтений следует их локальная ненасыщаемость.

Покажите, что если функция полезности u(x) непрерывна, то нестрогое отношение предпочтения У непрерывно.

Покажите, что функция полезности монотонна тогда и только тогда, когда представляемые ею отношения монотонны.

Пусть X состоит из я-мерных векторов (с неотрицательными компонентами), а отношение задано следующим образом: x У у, если все компоненты вектора х (строго) больше соответствующих компонент вектора у Существует ли функция полезности, представляющая это предпочтение?

Покажите, что отношение предпочтения, задаваемые положительно однородной (первой степени) функцией полезности, гомотетично.

Приведите пример выпуклых локально ненасыщаемых предпочтений, которые не обладают свойством монотонности.

Приведите пример выпуклых, монотонных предпочтений, которые не являются локально ненасыщаемыми.

Покажите, что строго выпуклые монотонные предпочтения локально ненасы- щаемы.

Покажите, что если функция полезности строго вогнута, то представляемые ею предпочтения строго выпуклы.

27. Функция полезности строго квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения строго выпуклы.

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории. Новосибирск 1998. 1998

Еще по теме 1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения:

  1. Приложение 2.A Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения
  2. 10.4. Математика элементы теории игр; системы массового обслуживания; элементы теории графов; элементы имитационного моделирования дискретного характера
  3. 1.7. Концепция выявленных предпочтений
  4. элементы теории игр; системы массового обслуживания; элементы теории графов; элементы имитационного моделирования дискретного характера
  5. Метод выявленных предпочтений
  6. Приложение 3.B Выявленные предпочтения в модели потребителя
  7. Проблемы контроля импульсов и выявленные предпочтения
  8. Относительное положение и выявленные предпочтения
  9. 2.A.2 Построение неоклассических предпочтений по функции выбора
  10. Выбор категорий клиентов для выявления проблем в обслуживании
  11. Спрос как важнейший элемент рынка и форма выявления потребностей населения.
  12. Приложение 2.C Альтернативный подход к описанию предпочтений: стохастические предпочтения
  13. 3. Альтернативная стоимость и единицы ее измерения. Правило альтернативного выбора. Фундаментальные положения теории выбора
  14. 6. Альтернативные теории внешней торговли и возможности их использования для выявления механизмов конкуренции на мировом энергетическом рынке.
  15. РАЗДЕЛ 2. Полезность и предпочтения. Количественная и порядковая теории полезности
  16. Элементы теории некооперативных игр
  17. 8.4. Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов
  18. Приложение: Элементы теории некооперативных игр