17.1 Вогнутые и квазивогнутые функции
Будем предполагать, что X - подмножество Rn. Определение 97:
Функция f (?): X ^ R называется вогнутой, если X выпукло и для всех x, y G X и a G [0, i] выполнено
f (ax + (i - a)y) > af (x) + (i - a)f (y).
Функция f(?) называется выпуклой, если -f(?) вогнута.Определение 98:
Функция f (?): X ^ R называется строго вогнутой, если X выпукло и для всех x, y G X, таких что x = y и a G (0, i) выполнено
f (ax + (i - a)y) > af (x) + (i - a)f (y).
Функция f(?) называется строго выпуклой, если -f (?) строго вогнута.
Заметим, что строго вогнутая функция является вогнутой. Линейная функция pт x является примером вогнутой, но не строго вогнутой функции.
Теорема 161:
Функция f (?): X ^ R является вогнутой тогда и только тогда, когда X выпукло и для всех x1,..., xk G X и a1,..., afc ^ 0, таких что $^=1 aj = i, выполнено
/к \ k f Y axA ^ Y af (x).
vj=1 J j=1 J
Данное свойство (как и определение вогнутой функции) является частным случаем неравенства Йен- сена: f (E x) ^ E f (x) (для таких случайных величин, x, у которых соответствующие математические ожидания существуют, в частности, для дискретных случайных величин).
Определение 99:
Верхним лебеговским множеством (superlevel set) функции f (?): X ^ R, соответствующим уровню t G R называется множество { x G X | f (x) ^ t }.
Теорема 162:
Всякое верхнее лебеговское множество вогнутой функции выпукло. J
Заметим, что это необходимое, но не достаточное условие вогнутости функции. Например, всякое верхнее лебеговское множество функции x3 выпукло, но сама она не вогнута (при x ^ 0 она строго выпукла, что несовместимо с вогнутостью). Указанное свойство является необходимым и достаточным для квазивогнутых функций, о которых речь ниже.
Определение 100:
Подграфиком функции f (?): X ^ R называется множество { (x, t) | x G X, t ^ f (x) } .
Теорема 163:
Подграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда функция вогнута. J
Теорема 164:
Пусть fj (o): X ^ R (j = 1,.
.., m) - вогнутые функции. Тогда $j=i aj fj (х), где ai,. .., ak ^ 0, - вогнутая функция. В частности, сумма вогнутых функций вогнута.Пусть fj (o): X ^ R (j = 1,...,m) - строго вогнутые функции. Тогда aj fj (х), где
ai,..., ak ^ 0 и aj > 0 хотя бы для одного j, - строго вогнутая функция. В частности, сумма строго вогнутых функций строго вогнута. J
Теорема 165:
Пусть fj (o): X ^ R (j = 1,...,m) - вогнутые функции. Тогда их поточечный минимум minj=i m fj(х) - вогнутая функция. J
Аналогичное свойство верно и в общем случае (не обязательно конечного) семейства вогнутых функций.
Теорема 166:
Пусть f (х, y): X ^ R (j = 1,...,m) - семейство вогнутых по х функций, зависящих от параметра y е Y (где Y С Rm). Тогда их поточечный инфимум $(х) = infyey f (х, y) - вогнутая функция с областью определения { х е X | infyey f (х, y) > -то } . J
Теорема 167:
Пусть $(o): X ^ R - вогнутая функция и ее область значений Y является выпуклым множеством, и пусть h(-): Y ^ R - вогнутая неубывающая функция. Тогда суперпозиция этих функций f (х) = Л.($(х)) - вогнутая функция. J
Теорема 168:
Пусть множество X является открытым, а функция f (o): X ^ R дифференцируема (т. е. во всех точках X существует ее градиент Vf (o)). Эта функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло и для всех х, y е X выполнено неравенство
f (y) < f (х) + Vf (Х)Т(У - х). J
Т. е. вогнутая функция лежит (не строго) ниже любой своей касательной.
Теорема 169:
Точка х е int(X) является минимумом дифференцируемой вогнутой функции f (o): X ^ R тогда и только тогда, когда Vf (х) = 0. J
Теорема 170:
Пусть множество X является открытым, функция f (o): X ^ R дважды дифференцируема (т. е. во всех точках X существует ее матрица Гессе V2f (o)). Эта функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло и для всех х е X ее матрица Гессе V2f (х) отрицательно полуопределена. J
Теорема 171:
Пусть множество X является открытым.
Если функция f (o): X ^ R дважды дифференцируема и ее матрица Гессе V2f (х) отрицательно определена для всех х е X, то f (o) строго вогнута.JЗаметим, что обратное, вообще говоря, неверно. Так, функция f (x) = -x4 является строго вогнутой,
но f"(0) = 0.
Теорема 172:
Выпуклая (вогнутая) функция f (o): X ^ R непрерывна на внутренности ее множества определения int(X). J
Определение 101:
Функция f (?): X ^ R называется квазивогнутой, если X выпукло и для всех x, y G X и a G [0, i] выполнено
f (ax +(i - a)y) > min(f (x),f (y)).
Определение 102:
Функция f (?): X ^ R называется строго квазивогнутой, если для всех x, y G X, таких что x = y,
и a G (0, i) выполнено
f (ax +(i - a)y) > min(f (x),f (y)).
Определение 103:
Функция f (?) называется квазивыпуклой, если -f(?) квазивогнута.
Определение 104:
Функция f (?) называется строго квазивыпуклой, если -f (?) строго квазивогнута. Теорема 173:
Всякое верхнее лебеговское множество квазивогнутой функции выпукло. J
???
Теорема 174:
Непрерывная функция f (?): X ^ R, где X С R, является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло, и выполнено по крайней мере одно из трех условий:
функция f (?) является неубывающей;
функция f (?) является невозрастающей;
существует точка x* G X, такая что на множестве X П (-гс>, x*] функция f (?) является неубывающей, а на на множестве X П [x*, - невозрастающей. J
Теорема 175:
Пусть $(o): X ^ R - квазивогнутая функция с областью значений Y, и пусть h(-): Y ^ R - неубывающая функция. Тогда суперпозиция этих функций f (x) = h(g(x)) - квазивогнутая функция. J
Теорема 176:
Пусть множество X является открытым, и функция f (?): X ^ R дифференцируема. Эта функция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло, и для всех x, y G X, таких что f (y) ^ f (x), выполнено неравенство
Vf (x)T(y - x) > 0. J
Заметим, что для квазивогнутой функции (в отличие от вогнутой) из Vf (x) = 0 не следует, что точка x является максимумом этой функции.
Теорема 177:Пусть множество X является открытым. Если функция f (?): X ^ R дважды дифференцируема и квазивогнута, то для всех x G X и p G Rn, таких что pт Vf (x) = 0, выполнено p т V2f (x)p < 0.
Как следствие, для всех x G X, таких что Vf (x) = 0, матрица Гессе V2f (x) дважды дифференцируемой и квазивогнутой функции является отрицательно полуопределенной на гиперплоскости p т Vf (x) = 0. J
Обратное, вообще говоря, неверно, но имеется близкий аналог. Теорема 178:
Пусть множество X является открытым. Если функция f (?): X ^ R дважды дифференцируема и для всех x G X и p G Rn, таких что p = 0 и pт Vf (x) = 0, выполнено pт V2f (x)p < 0, то функция f (?) является квазивогнутой.
Другими словами, достаточным условием квазивогнутости дважды дифференцируемой функции является то, что ее матрица Гессе V2f (x) является отрицательно определенной на гиперплоскости pт Vf (x) = 0 при всех x G X, таких что Vf (x) = 0, и отрицательно определенной при x G X, таких что Vf (x) = 0. J
Еще по теме 17.1 Вогнутые и квазивогнутые функции:
- 3.5. Дискретные функции затрат. Вогнутый случай
- 2.5. Выпукло-вогнутый случай
- 2.4. Вогнутый случай
- Максимаксная функция общественного благосостояния (функция Ницше)
- Максимаксная функция общественного благосостояния (функция Ницше)
- Роулсианская функция общественного благосостояния (функция максимина)
- Функции государства и функции государственных финансов при осуществлении государственных закупок
- 48. Функции кредита. Дискуссионные вопросы характеристики функций кредита.
- 2.3. Ноосферная природа, функции науки жизни отечеств человечества в регионах планеты Ноосферные природа, статус, функции граждан отечеств в биосфере Земли
- 9.1. Ноосферная природа гражданства и функций власти отечества эпохи глобализации Ноосферный статус гражданства отечеств и защитные функции институтов ООН
- 2. Производственная функция. Свойства производственной функции
- 13. Понятие и функция предложения. Функция предложения от цены. Кривые предложения. Закон предложения
- 4.4.2 Функция издержек