16.7.2 Игры торга
Теперь мы рассмотрим важный класс игр, моделирующих достижение соглашений между экономическими субъектами, - так называемые игры торга. В таких играх в условиях полной информации решения всегда Парето-оптимальны.
Игра 15.
"Торг"Два игрока (A и B) делят между собой некоторую сумму денег (или любое бесконечно делимое благо). Будем считать, что общее количество равно 1. Дележ можно задать долей, x е [0,1], достающейся игроку A. Если игрок A получает x, то игрок B, соответственно, получает 1 - x. Торг происходит в несколько раундов. На каждом раунде один из игроков предлагает дележ Xj, где j - номер раунда. Другой игрок может либо отклонить, либо принять этот дележ. Если дележ принимается, то торг заканчивается и игроки получают свои доли (xj, 1 - Xj). Если дележ отклоняется, то настает очередь другого игрока предложить свой дележ. Игрок A предлагает дележ в раундах с нечетными номерами, а игрок B - в раундах с четными номерами. Если за n раундов игроки не договорятся, то игра заканчивается и каждый игрок получает 0 .
Предполагается, что игроки предпочитают получить деньги как можно раньше, поэтому полученная сумма денег умножается на дисконтирующий множитель, то есть если игроки договорятся на j -м раунде, то их выигрыши составят Jj 1xj- и Jj 1(1 - xj) соответственно, где Ja, Jb е (0,1) - дисконтирующие множители. <
Рассмотрим эту игру при n = 3. На Рис. 16.30 показано дерево игры.
x1 1-x1
JB (1-x3)
Игрок A Игрок B Игрок B
Игрок A Игрок A Игрок B 2)
f JAX2 I Jb (1-X2)
Проанализируем эту игру, используя обратную индукцию. В последнем раунде игрок B заведомо примет предложение игрока A, если JB (1 - x3) > 0, т. е. если x3 < 1. Если x3 = 1, то игроку B все равно, принять или отклонить предложение. Игроку A выгодно назвать x3 как можно большим. Значит, в равновесной стратегии не может быть x3 < 1 , ведь игрок A тогда мог бы немного увеличить x3 , не изменив выбора игрока B , и увеличил бы при этом свой выигрыш.
Таким образом, в равновесии x3 = 1. Чтобы при этом действительно было равновесие, игрок B должен в своей стратегии быть "благожелательным" по отношению к A, то есть принять его предложение; в противном случае игрок A мог бы предложить x3 меньше 1 и увеличить при этом свой выигрыш.Анализ 3-го раунда показывает, что игрок A должен будет предложить x3 = 1 , а игрок B должен будет принять этот де-
леж. Мы можем теперь "свернуть" игру, заменив 3-й раунд на конечный узел с выигрышами OA и 0.
Во 2-м раунде игрок A выбирает между OA (если отклоняет предложение) и OAx (если принимает). Таким образом, если Х2 > OA , то он примет предложенный дележ, а если x < OA , то отклонит. При Х2 = OA игроку A все равно, какой выбор сделать. Игрок B предпочтет получить выигрыш OB (i - x2), а не 0, поэтому он не станет предлагать x < OA .С другой стороны любой дележ Х2 > OA не является равновесным, поскольку игрок B в этом случае может уменьшить x, не меняя выбора игрока A, и, тем самым, увеличить свой выигрыш. Таким образом, в равновесии x = OA .
Чтобы этот выбор был равновесным, требуется, чтобы в равновесии игрок A принял дележ x = OA ,
40
несмотря на то, что отказ от этого дележа должен принести ему такой же выигрыш .
Остается торг, состоящий из одного раунда, в котором игроки получат OA и OB(i - OA) , если не придут к соглашению (см. Рис. 16.31). Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что уже в первом раунде игроки придут к соглашению: игрок B примет дележ x = i - OB (i - OA) , предложенный игроком A. Выигрыши при этом составят i - OB (i - OA) и OB (i - OA) .
О торге в условиях полной информации можно сделать два замечания:
Торг заканчивается на первом раунде.
Равновесный исход Парето-оптимален.
Рис. 16.32 показывает графический способ нахождения равновесия в игре "Торг" при n = 3. На этом графике видно, как изменяется граница Парето от раунда к раунду, сжимаясь в сторону начала координат из-за дисконтирования. Процесс нахождения решения изображен толстой кривой, выходящей из начала координат.
Рис.
16.32. ??Задачи
^ 710. Постройте по своему имени и фамилии игру, как это описано в задаче 682 на с. 645. Найдите в этой игре границу Парето. Есть ли среди равновесий Нэша Парето-оптимальные?
^ 711. Объясните, почему в антагонистической игре (игре, в которой сумма выигрышей игроков - постоянная величина) любой исход является Парето-оптимальным.
^ 712. Объясните, в чем состоит аналогия между аукционом, в котором игрок платит названную им цену, и игрой Ауманна (дилеммой заключенных). Представьте аукцион с двумя участниками как игру и сравните множество равновесий Нэша с границей Парето.
^ 713. Рассчитайте общие выигрыши (в каждой из конечных вершин) в повторяющейся дважды игре Ауманна, изображенной на Рис. 16.29, считая, что дисконтирующие множители обоих игроков равны 1/2.
^ 714. При каких значениях дисконтирующих множителей пара стратегий следующего вида будет совершенным в подыграх равновесием в повторяющейся игре Ауманна: "В первом раунде сотрудничать. В остальных раундах поступать так же, как другой игрок в предыдущем раунде"? ^ 715. Найдите совершенное в подыграх равновесие в бесконечно продолжающемся торге. Решение может опираться на тот факт, что через каждые два раунда подыгра, начинающаяся с текущей вершины, повторяет исходную игру с точностью до дисконтирования. Таким образом, естественно искать стационарное равновесие. Найдите такое равновесие и покажите, что оно является совершенным в подыграх равновесием. Будет ли это равновесие оптимальным по Парето?
Еще по теме 16.7.2 Игры торга:
- 3.6. Техника проведения биржевого торга
- 12.1.2 Примеры торга при асимметричной информации
- 4. ПРОБЛЕМА «СТРАТЕГИЧЕСКОГО ТОРГА»
- Социальное пространство и общие принципы организации административного торга.
- Игры использовались веками
- 2.1. Позиционная форма игры
- 2.5. Повторяющиеся игры
- ИГРЫ И СТРАТЕГИИ
- ДЕЛОВЫЕ ИГРЫ
- Игры — важный обучающий инструмент
- Ролевые игры "МАО" для предпринимателей 1.
- 16.4 Динамические игры с несовершенной информацией
- 3. Динамические игры с несовершенной информацией
- 1.8. Антагонистические игры
- 16.7 Игры и Парето-оптимальность
- 16.2.1 Нормальная форма игры
- Нормальная форма игры
- 1.5. Психология игры
- 1.5. Психология игры