ПРИЛОЖЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ КОУЗА
Следующее эвристическое доказательство гипотезы Коуза, которое рассчитано на продвинувшегося читателя, было вдохновлено работой [83].
Рассмотрим бесконечный горизонт t = 1,2,...
Легко можно показать, что для любой последовательности прошлых цен, назначенных монополистом {pi, ...,pf_i}, последующие убеждения продавцов в начале периода t состоят в том, что покупатели с оценкой 6 из [0,6*] еще не приобрели товар, тогда как покупатели с оценками 6 из (bt, +оо) уже купили его по некоторой цене 6i. Таким образом, последующие убеждения монополиста с необходимостью совпадают со снижением его предварительных надежд (это вытекает из того факта, что покупатель с высокой оценкой более нетерпелив в отношении покупки). Согласно [35], предположим, что покупатели следуют простой «стационарной» стратегии. Когда назначается цена pt в момент t, покупатели с оценкой, превышающей /3(pt), покупают (если они еще этого не сделали), тогда как покупатели с оценкой ниже 0(pt) не покупают, где /?(•) — возрастающая функция и /3(pt) > pt для всех pt > 0. (Важность этого стационарного предположения была доказана [5]). Для простоты обозначений пусть с = 0 — предельные затраты монополиста и F(b) — кумулятивное распределение оценок покупателей на [0,+оо) (при F(0) = 0, F(b) > 0 для 6 > 0 и F(+oo) = 1). Наконец, <5 = ехр(-гД) — дисконтирующий множитель, где Д — продолжительность реального времени между периодами. Нам будет интересно то, что происходит, когда Д стремится к нулю.Из-за стационарности стратегии покупателей сегодняшняя дисконтированная ценность прибылей монополиста начиная с данного момента t зависит только от распределения оставшихся покупателей, которое суммируется в виде «отрезанной оценки» («cut-off valuation») 6*. Пусть V(bt) — сегодняшняя дисконтированная прибыль. Заметьте, что \/Г( ) является неубывающей функцией, и пусть Ft ^ F(bt) — доля покупателей, которые не купили раньше момента t.
Зафиксируем реальное время е > 0, и пусть Д стремится к нулю.
Для любого г) > 0 существуют достаточно малые Д и t (такие, что (t -f 2)Д < ?), удовлетворяющиеFt - Ft+2 = F(bt) - F(bt+2) < V’ (ш)
Значит, так как число периодов между нулем и е стремится к бесконечности, можно всегда найти два последовательных периода, таких что общее количество, проданное в течение этих двух периодов, ограничено данным числом.
Предположение Коуза состояло в том, что, если бы прибыль V{b€/&) начиная с реального времени е была значительной, монополист имел бы стимул ускорить процесс путем более быстрого снижения цены. Например, между моментами t и t + 2 он не продает слишком много или не получает много от дискриминации, потому что реальный период времени между этими двумя моментами короток (так что и цена не может намного снизиться между ними, в противном случае покупатели подождут, и ни один ие совершит покупки между этими моментами). Таким образом, в известном смысле прибыль от дискриминации является прибылью второго порядка, тогда как, делая предложение в момент ?, монополист планирует получить прибыль в момент ? + 1; он ускорил бы процесс на один период и получил бы выигрыш первого порядка (по Д), если У(Ье/А) была не очень мала. Чтобы формализовать это предположение, запишем условие, при котором монополист предпочитает назначить р* в момент t и р(+1 в момент < + 1, нежели р*+1 в момент < непосредственно:
Рг(Рг — ^+1) + ^Р*+1(^+1 — /\+2) + ^2К(&|+2) > Р<+1(^< “-^+2) + ^^(6<+2). (П2) Это эквивалентно
(р* ~ Р*+1)^г — (р* — ^Ре+1)^+1 + (1 — 6)р*+1^+2 > ^(1 — (пз)
По определению 6*+1, покупателю с оценкой безразлично, принять ли р< или принять р*+1; так что
- Ре = НЬ1+Х -р*+1), (П4)
что подразумевает
Рг - ^Рг+1 = (1 — f>)bt+l (П5)
и
Р1 ~ Р1+1 = _(1 - - Р<+1). (пе)
Подставляя (П5) и (П6) в (П2) и разделив его на 1 — 6, получаем
(Ь*+1 — Р1+\)Р% — + pt+lFt+2 > (bt+2), (П7)
т. е. —
^+1) — Р<-ц(^ — ^+2) > ^^(6<+2). (П8)
Но <4-2 > г/Д подразумевает, что Ьг+2 > &е/д и, таким образом, что >
> К(6е/д). Так же ^+1 > ^+2- Следовательно, уравнение (П8) превращается
(Ь*+1 -Р*+1)(^ ~ ^+2) > ^(&е/д)> (П9)
это подразумевает, что, выбирая 77 достаточно небольшим, мы можем сделать сегодняшнюю дисконтированную ценность прибылей монополиста начиная с реального времени е произвольно малой. Таким образом, мы заключаем, что можем сделать сегодняшнюю дисконтированную стоимость прибылей начиная с любого времени (включая периоды времени, близкие к нулю) произвольно малой, выбирая А достаточно небольшим. Окончание доказательства гипотезы Коуза является рутинным. Прибыль может стремиться к нулю, только если цены стремятся к нулю (более точно — к предельным затратам). Вся торговля осуществляется в «мгновение ока».191
Еще по теме ПРИЛОЖЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ КОУЗА:
- Приложение 12.A Доказательство теоремы Майерсона-Саттертуэйта
- Аудиторские доказательства: источники, виды доказательств, методы сбора.
- Эвристическое решение
- Аудит расчетов с подотчетными лицами в системе внешнеэкономической деятельности организации: программа; источник информации для сбора доказательств; методы сбора доказательств.
- Теорема Коуза
- 2. Мотивы и гипотезы ПИИ
- ИЗБАВЛЕНИЕ ОТ ПРОБЛЕМЫ КОУЗА
- Тестируемые гипотезы
- VIII Новая атака на теорему Коуза
- 2. ТЕОРЕМА КОУЗА И ЕЕ НАУЧНЫЙ СТАТУС
- 1. НОВАЯ ВЕРСИЯ ТЕОРЕМЫ КОУЗА?
- 4. Внешние эффекты трансакционные издержки. Теорема Коуза
- Гипотеза, прикидывающаяся теорией
- Теорема Коуза. Трансакционные издержки ведения переговоров.
- Гипотеза эффективных рынков
- Теория фирмы. Теорема Р. Коуза.
- Вопрос 15. Квазилинейные предпочтения, нулевой эффект дохода и теорема Коуза
- 5.3. Теорема Коуза ( внешние эффекты, экстерналии).
- 5.3. Теорема Коуза ( внешние эффекты, экстерналии).