<<
>>

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ 11.6.1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ

Основной результат касается существования равновесия Нэша. Существование Байесова, совершенного и совершенного Байесова равновесий доказано посредством простых переинтерпретаций этого результата.
Рассмотрим игру нормальной формы с конечным числом игроков (г = Пусть А{ обозна

чает набор возможных действий г-го игрока, а = (<ц,..., а*,..., ап) — вектор действий (где а.{ принадлежит А*), а П1(а) — выигрыш г-го игрока. Следующая теорема — это особый случай теоремы, содержащейся в [16]. (Дебре также допускает, что набор возможных действий игрока зависит от действий других игроков).

Теорема. Если для всех г А{ — сплошное и выпуклое подмножество Евклидова пространства, а П* непрерывно ван квазивыпукло в а,, то существует равновесие Нэша, т. е. вектор а* такой, что для всех г и а* в А{

П<(а*)>П<(а1-,а11).

Эта теорема (которую можно доказать методом фиксированной точки) непосредственно приложена к играм с конечным числом действий. Она показывает, что для таких игр всегда существует равновесие в смешанных стратегиях (это существование не нужно^в чистых стратегиях, см., например, игру с подбрасыванием монет). Пусть Ах обозначает набор распределений вероятности на конечном множестве чистых стратегий А{. Таким образом, мы увеличиваем набор действий, чтобы допустить смешанные стратегии: а{ € А1. А, гомеоморфно симплексу и, следовательно, компактно и выпукло. П* становится ожиданием по исходам чистых стратегий; поэтому оно линейно (следовательно, квазивыпукло) в и многочленно (следовательно, непрерывно) в а. Итак, всегда существует состояние равновесия смешанных стратегий [53].

Приведенная теорема (или ее варианты) предусматривает также условия существования равновесия в играх с континуумом действий. Однако некоторые игры в организации промышленности (например, аукционы, конкуренция Курно, игры размещения) имеют прерывные и/или квазивыпуклые функции выигрыша.

Достаточные условия для существования равновесия чистых стратегий (с квазивыпуклыми функциями выигрыша) и равновесия смешанных стратегий (где квазивыпуклость отсутствует) см. в [13, 14].

Теорему можно также использовать, чтобы доказать существование равновесия для версий концепции Нэша в случае неполной информации и динамики. Допустим, что у каждого игрока имеется только конечное число возможных чистых стратегий. Точно так же при неполной информации у каждого г-го игрока есть только конечное число потенциальных ТИПОВ \Т{\ (т. е. есть только конечное число чистых стратегий). 11.6.1.1.

СУЩЕСТВОВАНИЕ БАЙЕСОВА РАВНОВЕСИЯ

ф

Достаточно трансформировать игру п игроков в игру |7\| игроков. Это означает, что у каждого игрока есть |Т,| воплощений, играющих за свой собственный интерес (г-му игроку типа ti неважно, какой выигрыш он бы получил, если бы имел тип <'). Это по-прежнему игра с конечным числом игроков и чистых стратегий. Следовательно, она допускает равновесие смешанных стратегий. Понятно, что стратегии равновесия в трансформированной игре являются равновесными стратегиями первоначальной игры. 11.6.1.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОВЕРШЕННОГО РАВНОВЕСИЯ

Для игр с совершенной информацией алгоритм обратной индукции Куна приводит к конструктивному доказательству существования совершенного равновесия. В конечном счете существование совершенного равновесия исходит от общего доказательства для совершенного Байесова равновесия (хотя для игр с почти совершенной информацией существуют более простые доказательства). 11.6.1.3.

СУЩЕСТВОВАНИЕ СОВЕРШЕННОГО БАЙЕСОВА РАВНОВЕСИЯ

Совершенное равновесие «дрожащей руки» [62] — более утонченное понятие, чем последовательное равновесие Крепса и Уилсона [39], которое в свою очередь немного более утонченно, чем совершенное Байесово равновесие; поэтому оно дает существование СБР и последовательное равновесие как побочные продукты.

Рассмотрим нормальную форму игры. Для данного набора действий Л, для г-го игрока мы можем определить множество полностью смешанных стратегий этого игрока:

У] 04 (а») = 1, 0Ч'(о*) > 0 для всех

&го значит, что сг^(а,), вероятность того» что г-й игрок играет а,-, должна быть строго положительной.

Введем е; и пусть {?(а«)}а<€<А{ обозначает набор чисел, таких что 0 < е(<ц) < <

е для всех а,-.

Теперь рассмотрим следующую задачу максимизации для г-го игрока:

тахП*(сг^,<г_,) при ограничении 0|(а*) > с(а<) для всех а*, (11.15)

?

где <г_, = (ох,..., 0,_1,0^+1,..., оп) — смешанные стратегии, сыгранные другими игроками. Иными словами, г-й игрок ограничен так, чтобы играть каждой из его возможных стратегий по крайней мере с малой вероятностью.

*е-совершенное равновесие» — это множество (полностью смешанных) стратегий {о-*}"-!, таких, что для некоторых {?(в|-)}а<€Л.-» гДе 0 < ?(а*) < ?• о* разрешает (11.15) для каждого г-го игрока. Другими словами, 5-совершенное равновесие — это равновесие Нэша в ограниченной игре. Для данной )} такое состояние равновесия Нэша существует согласно теореме Дебре. (Единственное отличие от доказательства существования равновесия смешанных стратегий в том, что смешанные стратегии должны принадлежать подмножествам симплексов; однако оно не имеет значения, поскольку подмножества компактны и выпуклы).

Совершенным равновесием «дрожащей руки» является любой предел ^-совершенного равновесия, когда ? стремится к нулю. Так как пространство

стратегий компактно, такой предел существует. Поскольку функции прибыли П* непрерывны, любой предел является равновесием Нэша (из условия 11.15).

Замечание 1. Когда игрок играет при разных наборах информации, это представление равновесия обрывается, так как оно недостаточно усовершенствовано. Селтен вводит второе усовершенствование, которое работает как первое, но по так называемой нормальной форме с агентами. (Нормальная форма с агентами предполагает учет каждого информационного множества как отдельного игрока с целевой функцией того игрока, чьим воплощением оно является. Это определяет нормальную форму с большим количеством игроков, к которой могут быть применены рассмотренные выше методы. Отличие от предыдущего подхода в основном то, что дрожание игрока в разных информационных множествах должно быть независимым, так что чем меньше дрожание, тем совершеннее равновесие.

Понятие равновесия «дрожащей руки» в действительности относится к этому второму уточнению). Обсуждение см. в [26].

Замечание 2. Главное в том, что совершенное равновесие «дрожащей руки» — это не только равновесие Нэша; это также и СБР. Именно здесь срабатывает введенный Селтеном прием — дрожание. Возмущенная игра, требующая минимального дрожания г(а;), не содержит действия с нулевой вероятностью. Следовательно, в расширенной форме (с нормальной формой, определенной приведенной выше игрой) нет события с нулевой вероятностью. Правило Байеса действует всюду, и равновесие Нэша автоматически удовлетворяет требование совершенства. (Чтобы представить это, вернитесь к игре 1. Если игрок 1 вынужден играть Л с вероятностью по крайней мере г(Я) > 0, игрок 2 придает г, следующему за Л, сколь возможно большую оценку. Следовательно, I не будет пределом оптимальной реакции на Д, даже если е(К) стремится к нулю. Для нормальной формы игры построение Селтена дает только единственное равновесие). Так что не заслуживающие доверия угрозы не являются ни частью равновесия Нэша возмущенной игры, ни частью равновесия «дрожащей руки» в пределе.

Замечание 3. Тогда как Селтен работал с нормальной формой, Крепе и Уилсон [39] использовали расширенную форму и сделали больший акцент на убеждения в информационном множестве. Они рассмотрели СБР, удовлетворяющее требованию совместимости. Таким образом, наборы стратегий и убеждений в СБР должны быть пределом последовательности наборов стратегий и убеждений» таким, что эти стратегии являются полностью смешанными и убеждения совместимы со стратегиями и правилом Байеса. По ходу этой сходящейся последовательности стратегии не должны быть оптимальны при данных убеждениях даже в ограниченном Селтеновом смысле. Они должны быть оптимальны лишь в пределе. Легко увидеть, что в сигнализирующей игре, изучаемой в разделе 11.6.2.1, этот критерий совместимости не используется. Однако в более общих играх вводится (среди прочего) последовательность убеждений различных игроков или одного и того же игрока при разных информационных множествах, даже при событиях с нулевой вероятностью.

Крепе и Уилсон показали, что для «почти всех игр» последовательные равновесия и совершенное равновесие «дрожащей руки» совпадают. 11.6.2. УТОЧНЕНИЯ

Проблема, которой мы усиленно избегали в тексте, это обычная и значительная множественность равновесий в динамических играх с неполной и несовершенной информацией. Чтобы понять, почему этот вопрос часто возникает, рассмотрим игру, в которой у игрока 1 есть личная информация, он играет первым, а игрок 2, для которого важна информация об игроке 1, отвечает на его действие. (Такая игра будет называться ниже сигнализирующей игрой). Предположим, что мы хотим исключить некоторое действие аI как равновесное действие для игрока 1. (Для этого допустим, что а\ в самом деле не оптимально для игрока 1, т. е. а\ имеет «нулевую вероятность в равновесии» или находится «вне равновесной траектории» и является «внеравновесным событием»). В этом событии правило Байеса не работает и принимаются любые убеждения по поводу типа игрока 1 после отклонения к а\. Во многих играх существуют такие типы для игрока 1, что если бы они были общеизвестны, то побудили бы игрока 2 предпринять действие, наносящее значительный урон игроку 1. Например, если игрок 2 полагает, что у игрока 1 высокие предельные затраты или что спрос высок, он вступит на рынок или накопит значительную мощность. Теперь мы положим: рассмотрев а\г игрок 2 сочтет, что тип игрока 1 таков, и он в самом деле предпримет действие, ухудшающее положение игрока 1; тогда в конце концов игрок 1 не предпочтет действие ах. Отклонение в сторону убеждений, лежащих вне равновесной траектории, создает некоторое отклонение в выборе равновесных действий; отказавшись от некоторых потенциально равновесных действий, можно превратить другие действия в равновесные. Следовательно, неудивительно, что часто можно завершить игру с континуумом совершенных Байесовых равновесий.

Но множественность, как обычно, порождает сомнения в самой природе равновесия. Как игроки согласовывают отдельное равновесие? Выбирают ли они «фокальное» равновесие? Обучаются ли они? Если да, то каков процесс обучения? Многие недавние разработки в теории игр уточняют понятие равновесия, вводя ограничения на события вне равновесной траектории, где правило Байеса не устанавливает ограничений. В нашем распоряжении есть почти дюжина уточнений совершенного Байесова равновесия. Хотя изменения в этой области происходят быстро, а эти заметки скоро устареют, давайте рассмотрим два таких уточнения, которые часто использовались и просты в применении.673

Раздел 11.6.2.1 (в нем мы следуем [26]) описывает простейшую игру, в которой возникают вопросы корректировки и совершенствования, — сигнализирующую игру. Из-за сложности динамических игр с неполной информацией экономисты в области организации промышленности нашли много (возможно, слишком много) способов применения этой основной игры. Мы увидим, как применить два уточнения к этой игре. Раздел 11.6.2.2 содержит примеры решения. 11.6.2.1.

<< | >>
Источник: Тироль Ж.. Рынки и рыночная власть : Теория организации промышленности / Пер. с англ. СПб. : Экономическая школа.. 1996

Еще по теме ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ 11.6.1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ:

  1. РАЗДЕЛ 2. Существование и единственность равновесия
  2. 5.3 Существование общего равновесия
  3. 14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
  4. 3. Существование общего равновесия
  5. Существование равновесия при монополии
  6. 13.1.4 Существование равновесия при монополии
  7. 5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу-Дебре
  8. Теоремы существования общего равновесия
  9. 5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена
  10. Существование межвременного равновесия
  11. Существование избирательного равновесия
  12. Приложение 5.A Теоремы существования равновесия
  13. РАЗДЕЛ 1. Понятие устойчивости равновесия. Паутинообразная модель
  14. РАЗДЕЛ 3. Понятие о частичном и общем равновесии
  15. РАЗДЕЛ 1. Частичное и общее равновесие
  16. РАЗДЕЛ 3. Неопределенность равновесия