<<
>>

Сетевое планирование в условиях неопределенности.

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки — минимальная и максимальная.
Минимальная (оптимистическая) оценка tmin(ij) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) tmin(i,j) — при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение ?ож оценивается по формуле (при бета-распределении плотности вероятности):

іож(і,І) =(3tmin(i,j) + 2tmax(i,j)): 5. (3.58)

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии S2:

S2(i,j) = (tmax(hj) ~ tmin(i,j))2 : 52 =

= 0,04(*max(?,y) - tmin(U))2- (3.59)

На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики СМ, однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом — лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

Кроме обычных характеристик СМ, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи: 1)

определить вероятность того, что продолжительность критического пути tKр не превысит заданного директивного уровня Т; 2)

определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.

Первая задача решается на основе интеграла вероятностей Лапласа Ф(г) использованием формулы:

Р (*кР <Т) = 0,5 + 0,5 Ф(2), (3.60)

где г — нормированное отклонение случайной величины:

z = (Т — tKp)/SKp;

S>Kp — среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути.

Соответствие между 2 и симметричным интегралом вероятностей приведено в табл.

3.16. Более точно соответствие между этими величинами (когда г вычисляется более чем с одним знаком в дробной части) можно найти в специальной статистической литературе.

При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ.

Для решения второй задачи используется формула:

Т = tox(LKp) + г х SKP. (3.61)

Все показатели в ней уже определены выше.

Таблица 3.16. Фрагмент таблицы стандартного нормального распределения г Ф(г) | - Ф(г) | - Ф(г) 0 0,0000 1,0 0,6827 2,0 0,9643 0,1 0,0797 1,2 0,7287 2,1 0,9722 0,2 0,1585 1,2 0,7699 2,2 0,9786 0,3 0,2358 1,3 0,8064 2,3 0,9836 0,4 0,3108 1,4 0,8385 2,4 0,9876 0,5 0,3829 1,6 0,8664 2,5 0,9907 0,6 0,4515 1,6 0,8904 2,6 0,9931 0,7 0,5161 1,7 0,9104 2,7 0,9949 0,8 0,5763 1,8 0,9281 2,8 0,9963 0,9 0,6319 1,9 0,9545 2,9 0,9973 Кроме описанного выше упрощенного способа расчета сетей с детерминированной структурой и вероятностными оценками продолжительности выполнения работ, используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним на ЭВМ многократно моделируются продолжительности выполнения всех работ и рассчитываются основные характеристики СМ. Большой объем испытаний позволяет более точно выявить закономерности моделируемой сети.

к» Пример 10. Структура сетевой модели и оценки продолжительности работ (в сутках) заданы в табл. 3.17. Требуется:

а) получить все характеристики СМ;

б) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней;

в) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 95% (т. е. р = 0,95).

Три первые графы табл. 3.17 содержат исходные данные, а две последние графы — результаты расчетов по формулам (3.58) и (3.59). Так, например,

*ож(1,2) = (3-5 +2-7,5) : 5 — 6; *ож(2,3) = (3 • 4 + 2 • 6,5) : 5 = 5 и т. д.

S2(l,2) = (7,5 - 5)2 : 25 = 0,25; S2(2,3) = (6,5 - 4)2 : 25 = 0,25 и т.

д.

Таблица 3.17. Вероятностные оценки продолжительности работ Продолжи Ожидаемая Работа тельность продолжительность Дисперсия (і.І) *тіп(І>І) tnnJiJ) *ож (ij) S2(i,j) (1,2) 5 7,5 6 0,25 (2,3) 4 6,5 5 0,25 (2,4) 3 6 3 1,00 (2,5) 1 5,5 4 0,25 (3,7) 0,5 3,5 1 0,36 (4,5) 5 7,5 6 0,25 (4,6) 3 5,5 4 0,25 (4,9) 5 10 7 1,00 (5,8) 2 4,5 3 0,25 (5,10) 7 12 9 1,00 (6,9) 0 0 0 0,00 (6,11) 3 8 5 1,00 (7,10) 4 9 6 1,00 (8,10) 2 7 4 1,00 (9,10) 1 6 3 1,00 (10,11) 8 10,5 9 0,25 Таким образом, не только структура СМ (см. рис. 3.5), но и числовые значения продолжительности ожидаемого выполнения работ совпали с оценками рассмотренного выше примера. Это избавляет нас от необходимости подробного комментария хода расчета характеристик модели. Напомним, что критическим является путь: LKp = (1,2,4,5,10,11), а его продолжительность равна tKp= ?ож= 33 дня.

Дисперсия критического пути составляет:

S2Kp = S2(l,2) + S2(2,4) + S2(4,5) + S2(5,10) + S2(10,ll) = = 0,25 + 1,00 + 0,25 + 1,00 + 0,25 = 2,75.

Для использования формулы (3.59) необходимо иметь" среднее квадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т. е. SKp = 1,66. Тогда имеем:

P(tKр <35) = 0,5 + 0,5 Ф{(35 - 33)1,66} =

= 0,5 + 0,5 Ф( 1,2) = 0,5 + 0,5 • 0,77 = 0,885;

P(tKр <30) = 0,5 + 0,5 Ф{(30 - 33)/1,66} «

= 0,5 - 0,5Ф(1,8) = 0,5 - 0,5 • 0,95 = 0,035.

Таким образом, вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет 88,5%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней — всего 3,5%.

Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего в табл. 3.16 найдем значение аргумента г, которое соответствует заданной вероятности 95%. В графе Ф(г) наиболее близкое значение (0,9545 ? 100%) к ней соответствует z — 1,9. В этой связи в формуле (3.61) будем использовать именно это (не совсем точное) значение. Тогда получим:

Т = іож(ікр) + 2-SKp = 33 + 1,9-1,66 = 36,2 дн.

Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности р = 95% составляет 36,2 дня. ^

Вопросы и задания 1.

Что такое двойственная задача в линейном программировании? Сформулируйте основные теоремы теории двойственности. 2.

Поясните экономический смысл теорем двойственности, дайте экономическую интерпретацию свойств двойственных оценок. 3.

Опишите экономико-математическую модель транспортной задачи. Какие методы решения транспортных задач вы знаете? 4.

Дайте экономическую интерпретацию метода потенциалов решения транспортной задачи. 5.

Что такое задачи целочисленного программирования? Приведите примеры таких задач и назовите известные вам методы их решения. 6.

В чем сущность задач многокритериальной оптимизации? Дайте характеристику метода последовательных уступок. 7.

Опишите общую постановку задачи нелинейного программирования. В чем суть метода Лагранжа решения классической оптимизационной задачи? 8.

Дайте краткую характеристику задач динамического программирования и методов их решения. 9.

Раскройте основные понятия имитационного моделирования и перечислите этапы машинной имитации как экспериментального метода изучения экономики. 10.

В чем суть методов сетевого планирования и управления? Дайте содержательную характеристику элементов сетевого графика. 11.

Какие задачи решаются на основе сетевых моделей? Раскройте сущность сетевого планирования в условиях неопределенности.

Упражнения 1.

Сформулировать двойственные задачи для задач линейного программирования, приведенных в упражнениях к гл. 2. 2.

При решении задачи оптимального использования ресурсов на максимум прибыли, исходные данные которой приведены в таблице, был получен оптимальный план: = 40; х2 = 40; х3 - 0. Тип ресурса Нормы затрат ресурсов на единицу продукции Наличие ресурсов 1 2 3 Труд 1 4 3 200 Сырье 1 1 2 80 Оборудование 1 2 2 130 Цена единицы продукции 40 60 80 а) Сформулировать прямую оптимизационную задачу, указать оптимальную производственную программу.

б) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план на основе теорем двойственности.

в) Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане, найти норму относительной заменяемости дефицитных ресурсов.

г) Определить, как изменится максимум общей стоимости продукции и план выпуска при увеличении запасов сырья на 9 ед.

и одновременном уменьшении трудовых ресурсов на 3 ед.

д) Оценить целесообразность включения в план продукции четвертого вида, если цена единицы этой продукции составляет 70 ед., а на ее производство расходуется по 2 ед. каждого типа ресурсов.

3. Решить следующие транспортные задачи (здесь А — вектор мощностей поставщиков, В — вектор мощностей потребителей, С — матрица транспортных издержек на единицу груза): ґ6 7 З 5Л 12 5 6 8 10 20 1.

а)А=(100; 150; 50), С В= (75; 80; 60; 85), 4 1 2^ 3 4 2 1 3 1 1 4 3) б)А = (300; 350; 150; 200), С =

В = (400; 400; 200), 2 3 4^ 1 2 3 4 1 2 со 1 V в) А= (20; 30; 40; 20), С =

б) тах/ЧХ) = 3*! + 4*2,

4. Найти целочисленные решения следующих задач линейного программирования методом Гомори:

В = (40; 40; 20), а) шах f(X) = + 3*2, 3*1 + 2*2 < 8, *1 + 4*2 < Ю,

*ь *2 > 0.

*1 + 3*2 > 6, 3*! + 2*2 < 36, *2 < 13, *!,*2 > 0. 5. С помощью метода Лагранжа найти условный экстремум функционала Z:

а) Z = ххх2

при *i2 + *22 = 2;

б) Z = Xl3 + *23

при *i + х2 — 2, *1, х2 > 0;

в) Z = *i + х2

при l/*i + 1 /х2 = 1. 6.

Сетевой график с указанием продолжительности работ в днях приведен на рисунке:

Требуется:

а) Пронумеровать события.

б) Выделить критический путь и найти его длину.

в) Определить резервы времени каждого события.

г) Определить полные резервы времени некритических работ.

<< | >>
Источник: В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов, И.В. Орлова, В.А. Половников. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ. - 391 с.. 1999

Еще по теме Сетевое планирование в условиях неопределенности.:

  1. Особенности планирования в условиях неопределенности. Анализ «что, если...»
  2. 22.8. Сетевое планирование складских процессов
  3. 3.6. Модели сетевого планирования и управления
  4. Задачи сетевого планирования
  5. Введение сетевого планирования работ в деятельности фирмы "В-текс"
  6. Решения в условиях неопределенности и риска
  7. 7.3 Предпочтения потребителя в условиях неопределенности
  8. Глава 2. Мотивация персонала в условиях неопределенности
  9. Рынки в условиях неопределенности
  10. 7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности
  11. 18. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ Сетевое планирование
  12. Определение проблематики и тенденций стратегического развития некоммерческих организаций в условиях неопределенности и риска
  13. Глава 3. Теоретико-методологические аспекты приня­тие решений в условиях риска и неопределенности
  14. 1. Неопределённость. Виды неопределённости. Классификация рисков
  15. 9.4. Математика элементы векторной оптимизации; элементы сетевого планирования; модели управления запасами; динамическое программирование; оптимальное управление
  16. Вопрос 92. Разработка управленческих решений в условиях неопределенности и риска. Оценка эффективности управленческих решений
  17. Развитие традиционной и сетевой форм экономики, а значит, и систем организационного управления ставит новые проблемы в сфере поддержки управленческих решений. Для того чтобы проследить, каким образом сетевая экономическая интеграция, проявляющаяся в отказе от иерархических структур управления, повлияет на известные формы и методы поддержки управленческих решений, рассмотрим две предметные области, характерные для традиционной и для сетевой форм экономики: промышленное производство, характеризующ
  18. Финансовое планирование и прогнозирование в условиях рыночной экономики
  19. 3. Изменение условий планирования в странах с переходной экономикой.
- Информатика для экономистов - Антимонопольное право - Бухгалтерский учет и контроль - Бюджетна система України - Бюджетная система России - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики в России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инновации - Институциональная экономика - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Кризисная экономика - Лизинг - Логистика - Математические методы в экономике - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоговое право - Организация производства - Основы экономики - Политическая экономия - Региональная и национальная экономика - Страховое дело - Теория управления экономическими системами - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятия - Экономика природопользования - Экономика труда - Экономическая безопасность - Экономическая география - Экономическая демография - Экономическая статистика - Экономическая теория и история - Экономический анализ -