<<
>>

8.4. Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов

При решении экономических задач часто приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные цели; это особенно характерно в условиях рыночной экономики.
Такого рода ситуации называются конфликтными. Математической теорией конфликтных ситуаций является теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников; существуют игры с бесконечным множеством игроков. Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то игра называется коалиционной; если таких коалиций две, то игра сводится к парной.

На промышленных предприятиях теория игр может применяться для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как выбор для посева одной из возможных культур, урожай которых зависит от погоды, если известны цена единицы той или иной культуры и средняя урожайность каждой культуры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим — природа.

Решение подобных задач требует полной определенности в формулировании их условий (правил игры); установления количества игроков, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (проигрыш понимается как отрицательный выигрыш). Важным элементом в условии игровых задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор действий данного игрока.

Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы — чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Важными являются понятия оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят отражение в определении решения игры: стратегии Р* и Q* первого и второго игрока соответственно называются их оптимальными стратегиями, а число V — ценой игры, если для любых стратегий Р первого игрока и любых стратегий Q второго игрока выполняются неравенства

M(P,Q*) где M(P,Q) означает математическое ожидание выигрыша (средней выигрыш) первого игрока, если первым и вторым игроками избраны соответственно стратегии Р и Q.

Из неравенств (8.50) следует, в частности, что V = M{P*,Q*), т.е. цена игры равна математическому ожиданию выигрыша первого игрока, если оба игрока изберут оптимальные для себя стратегии.

Одним из основных видов игр являются матричные игры, которыми называются парные игры с нулевой суммой (один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой) при условии, что каждый игрок имеет конечное число стратегий. В этом случае парная игра формально задается матрицей А = (aij), элементы которой ац определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет і-ю стратегию (і = 1,т), а второй —

j-ю стратегию 0 = 1, п). Матрица А называется матрицей игры, или платежной матрицей.

Рассмотрим построение платежной матрицы на примере.

к. Пример 7. На базе торговой фирмы имеется п типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар

типа j (j = 1,п) будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль Pj. Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток qj.

Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.

В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация товароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок — магазин, второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по п стратегий. Завоз і-го товара — і-я стратегия первого игрока, спрос на j-й товар — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы п-го порядка: Ґ

\

А =

Pi -Qi ??• -Я і -?2 Р2 •• А

\-Qn -9п ?•• PnJ Существует ряд методов решения Матричных игр. Если матрица игры имеет одну из размерностей, равную двум (у одного из игроков имеется только две стратегии), то решение игры может быть получено графически. Известно несколько методов приближенного решения матричной игры, например, метод Брауна.

В качестве примера рассмотрим решение игры, когда матрица игры имеет так называемую седловую точку.

L Пример 8. Матрица игры имеет вид:'

' 2 10 3 14 5' А= 8 9 5 6 7 ДО 8 4 8 12,

/

Минимальный элемент первой строки (первой стратегии первого игрока) равен 2, второй — 5, третьей — 4; максимальное значение из этих величин равно 5. Максимальный элемент первого столбца (первой стратегии второго игрока) равен 10, второго — 10; третьего — 5, четвертого — 14, пятого — 12; минимальное значение из них равно 5. Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии і = 2 и j — 3 являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V — 5. А

Во многих игровых задачах в сфере экономики неопределенность вызвана не сознательным противодействием противника, а недостаточной осведомленностью об условиях, в которых действуют стороны. Так, в рассматриваемых выше примерах были неизвестны заранее погода в некотором регионе, покупательский спрос на некоторую продукцию.

Подобного рода игры называются играми с природой.

В этих случаях строки матрицы игры соответствуют стратегии игрока, а столбцы — состояниям «природы». В ряде случаев при решении такой игры рассматривают матрицу рисков.

При решении игр с природой используется также ряд критериев: критерий Сэвиджа, критерий Вальда, критерий Гурвица и др.

При максиминном критерии Вальда оптимальной считается та стратегия лица, принимающего решение (ЛПР), которая обеспечивает максимум минимального выигрыша; применяя этот критерий, ЛПР в большей степени ориентируется на наихудшие условия (этот критерий иногда называют критерием «крайнего пессимизма»).

Критерий минимаксного риска Сэвиджа предполагает, что оптимальной является та стратегия, при которой величина риска в наихудшем случае минимальна.

При использовании критерия «пессимизм — оптимизм» Гурвица ЛПР выбирает некоторый так называемый «коэффициент пессимизма» q; при q — 1 критерий Гурвица приводит к критерию Вальда («крайнего пессимизма»), а при q = 0 — к критерию «крайнего оптимизма».

Рассмотрим пример использования указанных критериев в Играх с природой.

L. Пример 9. Диспетчер автобусного парка (ЛПР) в летние месяцы в конце каждой недели должен принять решение о целесообразности выделения дополнительных автобусов на загородный маршрут. ЛПР имеет три варианта решений: увеличить количество автобусов на 10 (стратегия Pi), увеличить это количество на 5 (стратегия Р2) или оставить без изменения обычное число автобусов на линии (стратегия Рз). Возможны два состояния погоды: Qi — плохая погода, Q2 — хорошая погода, причем в момент принятия решения нет возможности определить ожидаемое состояние погоды. Если в выходные дни будет хорошая погода и много желающих выехать за город, а выделено мало автобусов, то парк понесет убытки, связанные с недополученной прибылью. Если же выделены дополнительные автобусы, а погода окажется плохой, то возникнут потери вследствие эксплуатации незаполненных автобусов.

Пусть на основе анализа статистических данных за определенный период установлена функция потерь для возможных комбинаций состояний природы и решений ЛПР в виде матрицы игры A(Pi,Qj), в которой отрицательные значения показывают дополнительную прибыль, а положительные — потери: Pi Qi

и Q2

-5Ї Рг 2 -2 Рг 6; Если нет сведений о вероятностях различных состояний погоды, то по критерию Вальда и по критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия Р2- По критерию Гурвица при «коэффициенте пессимизма» q= 1 оптимальной окажется стратегия i>2, а ПРИ 9=0 — стратегия Pi-

Рассмотрим в заключение конкретный числовой пример решения задачи принятия решения в экономике методами теории игр.

L Пример 10. Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин.

Сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений предприятие в течение апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Решим эту задачу методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.

Предприятие располагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А — в расчете на теплую погоду и стратегия Б — в расчете на холодную погоду. Природу будем рассматривать как второго игрока также с двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия Г). Если предприятие выберет стратегию А, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) доход составит

600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1975 - 625)8 = 6 800 руб., а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход будет равен

600(48 - 27) + 1 975(16 - 8) = 28 400 руб.

Если предприятие выберет стратегию Б, то реализация продукции в условиях прохладной погоды даст доход

1 000(48 - 27) + 625(16 - 8) = 26 000 руб., а в условиях теплой погоды

600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1 000 - 600)27 = 6 800 руб.

Следовательно, матрица данной игры (платежная матрица) имеет вид:

_( 6800 28400

"426 ооо 68oa

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй столбцы — стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800 руб.

Но если погодные условия совпадают с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400 руб. Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию Б. Такая стратегия, как отмечалось выше, называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частота применения им стратегии Б равна (1 - х). В случае оптимальной смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холодная погода), и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:

6800* + 26 000(1 - х) = 28 400* + 6800(1 - х).

Отсюда можно найти, что х = 8/17; 1 - х = 9/17.

Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратегии А и Б в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае

средний доход в сумме 6800-8/17 + 26000-9/17 « 16965 руб.; эта величина и будет в данном случае ценой игры.

Легко рассчитать, какое количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной стратегии:

(600 костюмов -f 1975 платьев) • 8/17 + (1000 костюмов +

-I- 625 платьев) -9/17 = 812 костюмов -I- 1260 платьев.

Следовательно, оптимальная стратегия предприятия заключается в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит ему при любой погоде средний доход в сумме 16 965 руб. Л

Вопросы и задания 1.

Раскройте основные понятия целевой функции потребления и кривой безразличия. 2.

Что такое «бюджетная линия» и как она связана с кривой безразличия? 3.

Укажите наиболее характерные типы кривых Энгеля для различных групп товаров. Поясните характерные свойства функций спроса Торнквиста. 4.

Поясните экономический смысл коэффициентов эластичности спроса от дохода, спроса от цен, перекрестных коэффициентов эластичности. 5.

В чем суть постановки классической задачи управления запасами? 6.

Укажите основные принципиальные системы регулирования запасов и назовите их регулирующие параметры. 7.

Перечислите основные предположения и выводы на базе классической модели экономически выгодных размеров заказываемых партий. 8.

Приведите примеры систем массового обслуживания в экономике. Из каких элементов состоит СМО? 9.

Раскройте суть аналитического и имитационного моделирования СМО. Укажите требования к входящему потоку и времени обслуживания в аналитических моделях СМО. 10.

Назовите основные характеристики СМО и укажите методы их расчета для замкнутых и разомкнутых систем. 11.

Дайте основные понятия теории игр и приведите примеры экономических задач, которые могут быть решены методами теории игр. 12.

Какие парные игры называются матричными? Приведите пример построения платежной матрицы. 13.

Поясните принципы использования моделей теории игр в экономических задачах в условиях неопределенности (игры с природой).

Упражнения 1.

Целевая функция потребления для двух товаров имеет вид U(Y) = 3уу у2 , а вектор цен равен Р = (6,9); величину дохода обозначим Z. Построить аналитические функции спроса на товары от дохода = f\(Z) и у2 = f\(Z).

Указание: вычислить предельные полезности и использовать необходимые условия оптимума целевой функции потребления (соотношения (8.2)). 2.

Фирма реализует со оклада по заявкам телевизоры, причем ежедневный спрос является случайной величиной с симметричной «треугольной» функцией плотности распределения (см. рис 8.7 а) и колеблется от 30 до 70 телевизоров в день. Средние издержки хранения одного телевизора в день составляют 6 руб., а штраф за недопоставку одного телевизора в день равен 12 руб. Определить стратегию опти- мального пополнения запаса телевизоров и минимальные средние полные издержки. 3.

Магазин ежедневно продает 100 телевизоров. Накладные расходы на поставку партии телевизоров в магазин оцениваются в 300 руб. Стоимость хранения одного телевизора на складе магазина составляет 6 руб. Определить оптимальный объем партии телевизоров, оптимальные среднесуточные издержки на хранение и пополнение запасов телевизоров на складе. Чему будут равны эти издержки при объемах партий 50 и 300 телевизоров?

Указание: работу склада прйнять идеальной и воспользоваться формулой Уилсона (8.25). 4.

На АЗС имеются две колонки для заправки автомобилей. Автомобили подъезжают на АЗС в соответствии с пуас- соновским распределением со средней частотой два автомобиля за 5 мин. Заправка автомобиля в среднем длится 3 мин, и продолжительность заправки распределена по экспоненциальному закону. Требуется определить:

а) вероятность того, что у АЗС не окажется ни одного автомобиля;

б) вероятность того, что обе колонки будут заняты;

в) среднюю длину очереди в ожидании заправки;

г) среднее время ожидания автомобиля в очереди. 5.

Для следующих платежных матриц определить нижнюю и верхнюю цену игры, минимаксные стратегии игроков; найти оптимальное решение игры, если существует седловая точка: 4 5 3 '8 9 9 4n а) А = 6 7 4 9 б) А = 6 5 8 7 ,5 2 з,

'4 5 6 7 9) 4 5 6, в) 3 7 4 6 6 10 5 6 8 11 ,8 5 4 7 3)

<< | >>
Источник: В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов, И.В. Орлова, В.А. Половников. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ. - 391 с.. 1999

Еще по теме 8.4. Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов:

  1. 10.4. Математика элементы теории игр; системы массового обслуживания; элементы теории графов; элементы имитационного моделирования дискретного характера
  2. элементы теории игр; системы массового обслуживания; элементы теории графов; элементы имитационного моделирования дискретного характера
  3. Элементы теории некооперативных игр
  4. Приложение: Элементы теории некооперативных игр
  5. Глава 5. Элементы эволюционной теории игр
  6. 3.3. Использование прикладной теории игр и матема­тических методов моделирования в управлении сель­скохозяйственного производства
  7. 15.3. Математические методы исследования экономики моделирование социальных процессов; моделирование эколого-экономических систем
  8. Предмет экономической теории. Задачи экономической теории. Экономические блага, их классификация. Граница производственных возможностей.
  9. 5.4. Математическое моделирование технико-экономических процессов
  10. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории
  11. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории
  12. Модели теории игр
  13. 14. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР
  14. Основные понятия теории игр
  15. 14. Сущность и задачи ревизии как элемента экономического контроля.
  16. Этапы развития экономической теории. Взаимосвязь «экономической теории», «политической экономии», «экономикс». Предмет экономической теории
  17. Методы моделирования бизнес-процессов
- Информатика для экономистов - Антимонопольное право - Бухгалтерский учет и контроль - Бюджетна система України - Бюджетная система России - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики в России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инновации - Институциональная экономика - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Кризисная экономика - Лизинг - Логистика - Математические методы в экономике - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоговое право - Организация производства - Основы экономики - Политическая экономия - Региональная и национальная экономика - Страховое дело - Теория управления экономическими системами - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятия - Экономика природопользования - Экономика труда - Экономическая безопасность - Экономическая география - Экономическая демография - Экономическая статистика - Экономическая теория и история - Экономический анализ -