<<
>>

2. Чувствительность решения к изменению запасов сырья.

Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 12 единиц, т. е. теперь он составляет 2000 + 12 = 2012 единиц. Из теоремы об оценках Af(X) = yt • Дbt известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению f(X).
Оно определяется величиной у і в случае, когда при изменении величин bt значения переменных Уі в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы.

Для двойственных оценок оптимального плана весьма существенное значение имеет их предельный характер. Точной мерой влияния ограничений на функционал оценки являются лишь при малом приращении ограничения. Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивность этих векторов (значения неизвестных) в плане могут меняться.

Рассмотрим модель исходной задачи (З.І)-(З.З) в матричной форме:

f(X) = С ? X -» шах ,

А-Х < В, Х>0,

где X = (хх,х2,...,хп) — вектор неизвестных;

С = (ci,c2,...,c„) — вектор коэффициентов при неизвестных в целевой функции;

В = (bltb2,...,bn) — вектор свободных членов ограничений исходной задачи; — матрица коэффициентов в

А =

а1 п а2 п

а12 а22

ап а21

Vaml ат2

системе ограничении.

Приведем задачу к канонической форме, введем т дополнительных переменных. Задача примет вид:

f(X) = С • X -» шах,

А-Х = В, X > О,

где вектор неизвестных переменных X будет теперь иметь размерность п+т. Размерность матрицы А также изменится

и будет равна т'(п+т).

Пусть известен оптимальный план. Разобьем вектор X на два подвектора: X* > 0 и Х° = 0. В первый включены неизвестные, вошедшие в базис оптимального решения (т.

е. ненулевые в оптимальном плане). Соответственно матрицу

А разобьем на две подматрицы: А* (размерность тхт.) и А0 (размерность тхп). Первую из них сформируют те столбцы матрицы А, которые соответствуют ненулевым неизвестным

в оптимальном плане. Тогда А*X* + А°Х° = В. Так как А°Х°=0, то А*X* = В. Умножив обе части последнего равенства на матрицу, обратную матрице А*, получим А*_1А*Х* = = А*'1 В . Так как А*'1 А* = Е , где Е — единичная матрица,

то X* = А*~1В. Обозначим А*'1 через D, тогдаХ* = DB.

Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска продукции X. Изменим размер выделяемых ресурсов, т. е. дадим приращение ДБ вектору В. Тогда

X + АХ = D(B + АВ) = DB + DAB.

С учетом X = DB можно записать

ДХ = DAB.

Это соотношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске продукции при изменении ограничений исходной задачи. Из соотношений второй теоремы двойственности видно, что двойственные оценки (переменйые двойственные задачи) тесным образом связаны с оптимальным планом простой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи может оказать влияние как на ее оптимальный план (ДХ = DAB), так и на систему оптимальных двойственных оценок. Поэтому чтобы проводить экономический анализ с использованием двойственных оценок, нужно знать их интервал устойчивости.

Второе свойство двойственных оценок означает, что изменение значений величины bj приводит к увеличению или уменьшению/(X). Это изменение, как выше уже отмечено, определяется величиной уі и может быть определено лишь тогда, когда при изменении величин bt значения перемен- ных Уі в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы линейных уравнений АХ—В, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Это имеет место тогда, когда среди компонент вектора X—DB нет отрицательных.

Исходя из этого получаем следующие оценки нижних и верхних пределов устойчивости двойственных оценок при изменении каждого ограничения в отдельности.

Пределы уменьшения (нижняя граница) определяются по тем Xk (k = 1,..., т), для которых соответствующие d^ >0: (3.14)

АЦ * = для dkl >0. Пределы увеличения (верхняя граница) определяются по тем х^, для которых dfn <0: (3.15)

Ab[+) = \max{xk/dki}\ для dki <0. Ослабление какого-либо г-го ограничения приводит к тому, что с определенного момента оказывается возможным изменить структуру (набор векторов) в базисе плана, что ведет к скачкообразному уменьшению величины оценки. Так продолжается до тех пор, пока г-й ресурс вообще перестанет быть дефицитным и его оценка обратится в нуль.

Определим интервалы устойчивости двойственных оценок в примере 3. Матрица А имеет вид: А =

2 4

v2 После приведения задачи к канонической форме матрица А примет следующий вид: А =

1 0 0

4 1 1

2 4

v2 0

о 1

о

о 1,

С ненулевыми значениями в оптимальный план вошли xl = 200, х2 = 400 и х\ = 200, следовательно, матрица А* будет составлена из первого, второго и четвертого столбцов матрицы А:

ґ2 4 0Л А =

1 1 1 0 Для вычисления интервалов устойчивости необходимо

найти матрицу D = А*-1 (правила вычисления обратной матрицы приведены в гл. 2):

-0,166 0 0,333

^ -1/6 0 2/3^1 f 1/3 0 -1/3

0,333 0 -0,333 0,333 1 -2,333,

D =

1/3 1 -7/3,

При вычислении интервалов устойчивости по формулам (3.14) и (3.15) примем 200 = Xk=\, х2 = 400 = х^2 и 200 = Xk=3. Интервалы устойчивости первого ресурса —

х

«труд»:

ДЬ{ ) = min{x2/d21;xs/dsl} = = min{400/0, 3333 ; 200/0, 3333} = min{1200 ; 600} = 600; ДЬ{+) = I*!/dill = |200/-0,16667| = 1200;

h = - ЛЬ^А + = {2000 - 600; 2000 + 1200) = {l400;3200|.

При изменении запасов ресурса «труд» в пределах от 1400 до 3200 единиц двойственная оценка его не изменится.

Интервалы устойчивости второго ресурса - «сырье»: этот ресурс в оптимальном плане используется не полностью и поэтому не имеет верхней границы интервалов устойчивости; нижняя граница определяется следующим образом:

Дг4-) = x3/ds і = 200/1 = 200;

ъ2 = [ь2 - ь2} = {140° - 20°;1400} = {120°; 14оо}.

Интервалы устойчивости третьего ресурса — «оборудование»:

ДЬ<"> = {xxldiz} = 200/0,6667 = 300;

= |max{*2/d23 ;*3/d33}| = |тах{400/-0,3333;200/-2,3333}| = = |шах{-1200;- 85,7144}| = |-85,7144| = 85,7144;

Ь3 = (б3 - Л&?_);&3 + Д6<+)) = {800 - 300; 800 + 85,7144} = = {500;885,7144}.

В нашем примере определим величину изменения объема прибыли от реализации продукции при увеличении ресурса «труд» на 12 единиц.

Эти изменения находятся в интервалах устойчивости двойственных оценок, поэтому можно воспользоваться теоремой об оценках:

Д/(Х) = 12 • 40/3 = 160.

Объем прибыли увеличится на 160 единиц.

Такой же ответ мы получили бы, если бы решили симплексным методом задачу с новыми ограничениями по ресурсу «труд». Новый оптимальный план:

х\ = 198,

х*2 = 404,

f(X) = 32160,

Д/(Х) = 32160 - 32000 = 160.

Структурных сдвигов в программе не произошло, но значения переменных в плане изменились: продукции вида А может быть выпущено на 2 единицы меньше, а продукции вида Б — на 4 больше. Значение целевой функции при новых ограничениях увеличится на 160 единиц.

<< | >>
Источник: В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов, И.В. Орлова, В.А. Половников. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ. - 391 с.. 1999

Еще по теме 2. Чувствительность решения к изменению запасов сырья.:

  1. 3. Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции.
  2. Оценка запаса сырья
  3. Чувствительность NPV к изменению структуры потока
  4. Аудит производственных запасов и сырья. Цель, программа аудита, процедуры аудита, методика проверки.
  5. 14.5. Расчет изменения запасов материальных оборотных средств в МОБ СНС как компонента ВВП
  6. Построение баланса запасов: стратегическое решение
  7. Сравнительная характеристика учета материально-производственных запасов в соответствии с ПБУ 5/08»Учет материально-производственных запасов» и МСФО 2 «Запасы»: определение, состав, себестоимость, методы оценки.
  8. 1.3.4. Исследование влияний изменения неуправляемых параметров (параметрических возмущений) на результаты решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования.
  9. 7.3. Анализ чувствительности и построение сценариев
  10. 5.3. Анализ чувствительности критериев эффективности
  11. § 8.6. Анализ чувствительности инвестиционного проекта
  12. 8.8. Анализ чувствительности инвестиционного проекта
  13. Методика проверки учета материально-производственных запасов. Ревизия операций по движению материальнопроизводственных запасов и их использованию в производстве
  14. Анализ чувствительности проекта
  15. Анализ чувствительности
  16. 2. Метод вариации параметров (анализ чувствительности)
  17. 2.5. Природопользование, экономическая география и регионалистика экономическая эффективность осуществления природоохранных мероприятий; планирование рационального природопользования и охраны окружающей среды; финансирование мероприятий по охране окружающей среды и рациональному - природопользованию; теория географического детерминизма, методика оценки природных ресурсов; балансовые запасы минерального сырья и топлива; экономическая оценка земельных, водных и других природных ресурсов; методика
  18. В Автоматизация анализа чувствительности
  19. Расчет изменения себестоимости при изменении объема выпуск
- Информатика для экономистов - Антимонопольное право - Бухгалтерский учет и контроль - Бюджетна система України - Бюджетная система России - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики в России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инновации - Институциональная экономика - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Кризисная экономика - Лизинг - Логистика - Математические методы в экономике - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоговое право - Организация производства - Основы экономики - Политическая экономия - Региональная и национальная экономика - Страховое дело - Теория управления экономическими системами - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятия - Экономика природопользования - Экономика труда - Экономическая безопасность - Экономическая география - Экономическая демография - Экономическая статистика - Экономическая теория и история - Экономический анализ -