<<
>>

1.3. Методы синтеза и выбора (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования развития экономической системы страны, условия существования решения соответствующих задач вариационного исчисления и условия влияния на них неуправляемых параметров 1.3.1. Исследование условий существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической сис

Постановки задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической системы. Вернемся к рассмотрению нелинейной динамической системы вида (1.1.1):

x(t) = /(®(i),u(t),A)

с начальным условием (1.1.2):

ж(і0) = х0.

Зададим критерий оптимальности, подлежащий максимиза-

(1.3.1)

(1.3.2)

где функция F(x) удовлетворяет условию Липшица.

Имеются фазовые ограничения на систему:

x(t)EX(t), te(t0,t0+T\.

ции:

В рассматриваемых далее задачах предполагаются также следующие ограничения на управление:

u(t)eU(t), <є[іо,<о+Т]. (1.3.3)

Здесь X(t) С Rm, U(t) С Rq — компактные множества с непустыми внутренностями, множества X = (J X(t) ш U =

te(t0,t0+T]

= (J U(t) ограничены.

te[t0,t0+T)

Сформулируем следующую вариационную задачу, называемую задачей вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической системы.

Задача 1.3.1. При известном векторе неуправляемых параметров Л найти закон параметрического регулирования и, удовлетворяющей условию (1.3.3), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (1.1.1), (1.1.2) удовлетворяло условию (1.3.2) и доставляло максимум функционалу (1.3.1).

Во второй задаче вновь рассматривается управляемая непрерывная динамическая система, описываемая уравнениями (1.1.1), (1.1.2) при наличии фазовых ограничений (1.3.2). Однако в отличие от предшествующего случая управление выбирается из набора заданных законов регулирования:

Uj(t) = Gj(v,x(t)), іє(і0,*о+Т], j = l,...,r, (1.3.4)

где v = (vl,.. ..г/) — вектор настраиваемых коэффициентов (управляющих параметров) закона регулирования. Будем предполагать, что вектор-функция Gj(v,x) удовлетворяет условию Липшица и линейным ограничениям на степень роста:

\Gj(v, х)\ ^ с(1 + |ж|), (1.3.5)

где с — некоторая положительная константа.

На эти настраиваемые коэффициенты налагаются ограничения

v Є У, (1.3.6)

где V — некоторое компактное подмножество пространства Н!.

Кроме того, предполагается, что управляющие параметры v должны быть такими, чтобы соответствующий закон регулирования (1.3.5) удовлетворял условию (1.3.3), т.е. выполнялось бы включение

Xj(t)) Є U(t), te(t0,t0+T], (1.3.7)

где Xj(t) — решение задачи (1.1.1), (1.1.2) при выбранных значениях v, А и j-м законе параметрического регулирования. Рассматриваются критерии оптимальности

to+T (1.3.8) Ставится следующая экстремальная задача, называемая задачей вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической системы.

Задача 1.3.2. При известном векторе неуправляемых параметров А Є Л для каждого из г законов регулирования (1.3.4) найти такой вектор настраиваемых коэффициентов v, чтобы соответствующее ему решение х = Xj задачи (1.1.1), (1.1.2) с законом регулирования u = Uj, определяемого по формуле (1.3.4), удовлетворяло условиям (1.3.2). (1.3.6), (1.3.7) и доставляло максимум функционалу (1.3.8) с последующим выбором наилучшего из найденных оптимальных законов регулирования, т. е. такого, которому соответствует наибольшее значение критерия оптимальности.

Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической системы.

Вернемся к исследованию задачи 1.3.1.

Будем рассматривать законы параметческого регулирования и = u(t) = (f/1(t),..., uq(t)), принадлежащие подмножеству W пространства Соболева [Н1(0,Т)]9 вектор-функций, удовлетворяющих соотношениям

u(t)?U(t), |«(t)|Здесь U(t) — определенные выше компактные множества в Rq, а с — некоторая положительная константа.

Множеством допустимых управлений Wa(i назовем совокупность таких законов регулирования и Є W, для которых существует решение системы (1.1.1), (1.1.2), удовлетворяющее включению (1.3.2).

Задача 1.3.1 состоит в отыскании такого допустимого закона регулирования u(t), которое максимизирует на множестве Wad функционал (1.3.1).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3.1.

При сделанных выше предположениях задача 1.3.1 разрешима, если множество Wad допустимых управлений не пусто.

Доказательство приведено в приложении А.

Условия существовании решения задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической системы. Рассмотрим задачу 1.3.2 вариационного исчисления по выбору в среде заданного конечного набора алгоритмов оптимальных законов параметрического регулирования на базе непрерывной динамической системы (1.1.1) с начальными условиями (1.1.2).

Для j-ro закона регулирования (1.3.4) система (1.1.1) описывается уравнением

x(t) = f(x(t),Gj(v,x(t))^) (1.3.10)

с начальным условием

®(іо)=жо. (1-3.11)

Здесь функция / удовлетворяет ограничениям, определенным в начале § 1.1, а функции Gj растут по модулю не быстрее линейных функций и удовлетворяют условию Липшица. На вектор настраиваемых коэффициентов налагается ограничение (1.3.6): v Є V.

Поскольку после переобозначения уравнение (1.3.10) может быть сведено к уравнению (1.1.1) с теми же функциональными свойствами, можно заключить, что решение рассматриваемой системы, понимаемое в том же смысле, что и выше, существует и единственно. Поскольку оно определяется конкретными значениями номера закона регулирования j и настраиваемого коэффициента v, в дальнейшем мы будем использовать для него обозначение х = x){t).

Для любых j = 1,...,г определяется множество допустимых значений настраиваемого коэффициента состоящее из таких значений v, удовлетворяющих условию (1.3.6), для которых соответствующее решение задачи (1.3.10), (1.3.11) удовлетворяет включениям

G3{v,xv3{t)) Є U(t), te(t0,t0+T], (1.3.12)

xvAt)eX(t), t?(t0,t0 + T\. (1.3.13)

Задача 1.3.2 состоит в выборе наилучшего из законов регулирования, т.е. такого номера закона j, при котором максимум функционала (1.3.8) Kj на множестве окажется наибольшим.

Теорема 1.3.2.

При сделанных выше предполо случае непустоты множеств задача 1.3.2 разрешима.

Доказательство приведено в приложении А.

1.3.2. Исследование условий существования решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования дискретной детерминированной динамической системы

Постановки задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования дискретной детерминированной динамической системы. Рассматривается дискретная стохастическая управляемая система

x(t+ 1) = f(x(t),u(t),X), t = 0,l,...,n-l, (1.3.14)

ж(0) = хо, (1.3.15)

где t — время, принимающее неотрицательные целочисленные значения, п — фиксированное натуральное число; х = x(t) Є Є Rm — функция состояния системы (1.3.14), (1.3.15), вектор- функция дискретного аргумента; xq Є Rm — начальное состояние системы, детерминированный вектор; и = u(t) Є Rq — вектор управляемых параметров, вектор-функция дискретного аргумента; А Є Л С Rs — вектор неуправляемых параметров, Л — открытое связное множество; / — заданная вектор-функция своих аргументов.

Задастся критерий оптимальности, подлежащий максимизации:

п

К = Y,Ft(x(t)). (1.3.16)

t=і

Здесь Ff(x) — известные функции.

Имеются фазовые ограничения на систему:

x(t)eX(t), t = l,...,n. (1.3.17)

В рассматриваемых далее задачах предполагаются также следующие ограничения на управление:

u(t)?U{t), t = 0, l,...,n-l. (1.3.18)

Здесь X(t) С i?m, U(t) Сформулируем следующую вариационную задачу, называемую задачей вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной детерминированной динамической системы.

Задача 1.3.3. При известном векторе неуправляемых параметров Л найти закон параметрического регулирования и, удовлетворяющий условию (1.3.18), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (1.3.14), (1.3.15) удовлетворяло условию (1.3.17) и доставляло максимум функционалу (1.3.16).

В следующей задаче вновь рассматривается управляемая дискретная детерминированная динамическая система, описываемая уравнениями (1.3.14), (1.3.15) при наличии фазовых ограничений (1.3.17).

При этом управление выбирается из семейства заданных законов регулирования:

Uj(t) =Gj(v,x(t)), і = 0,1,...,n-l, j = l,...,r. (1.3.19)

Здесь Gj — вектор-функция своих аргументов, удовлетворяющая условию Липшица, v = (w1,..., vl) — вектор настраиваемых коэффициентов закона регулирования Gj.

На эти коэффициенты налагаются следующие ограничения:

v Є У, (1.3.20)

где V — некоторое компактное подмножество пространства R1. Кроме того, предполагается, что параметры закона управления должны быть такими, чтобы выполнялось включение

Gj(v,x'j(t)) Є U(t), t = 0,1,...,n — 1. (1.3.21)

Здесь xVj{t) — решение задачи (1.3.14), (1.3.15) при выбранных значениях v, а и j-м законе параметрического регулирования.

Рассматриваются критерии оптимальности

п

К? = Kj(v, А) = (1.3.22)

t=і

Сформулируем следующую задачу, называемую задачей вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования дискретной детерминированной динамической системы.

Задача 1.3.4. При известном векторе неуправляемых параметров А Є Л найти для каждого из г законов регулирования из набора (1.3.19) такой вектор управляющих параметров v, чтобы соответствующее ему решение х = Xj задачи (1.3.14), (1.3.15) с этим законом регулирования удовлетворяло условиям (1.3.17), (1.3.20), (1.3.21) и доставляло максимум функционалу (1.3.22).

Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной детерминированной динамической системы.

Множеством допустимых управлений Wad назовем совокупность таких законов регулирования и, удовлетворяющих (1.3.18), для которых решение системы (1.3.14), (1.3.15) удовлетворяет включению (1.3.17).

Задача 1.3.3 состоит в отыскании такого допустимого закона регулирования и, которое максимизирует на множестве Wad функционал (1.3.16).

Справедливо следующее утверждение, являющееся естественным развитием классической теоремы Вейерштрасса существования экстремума непрерывной функции на отрезке.

Теорема 1.3.3.

Пусть в задаче 1.3.3 вектор-функция / непрерывна по совокупности аргументов, множества X(t), U(t) замкнуты и ограничены для всех определенных t, функция Ft(х) непрерывна. Тогда, если множество Wad допустимых управлений не пусто, то задача 1.3.3 имеет решение.

Доказательство приведено в приложении А.

Условия существовании решения задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования дискретной детерминированной динамической системы. Рассмотрим теперь сформулированную выше задачу 1.3.4.

Обозначим через хj решение системы (1.3.14), (1.3.15) для выбранного j-ro закона параметрического регулирования (1.3.19), его настраиваемого коэффициента v и параметра А:

x?(t + 1) = f(x](t),Gj(v,x](t)),X), і = 0,1,..., n — 1, (1.3.23)

x](t0)=x0. (1.3.24)

Как и в теореме 1.3.2, определим множество допустимых значений Vgd, состоящее из таких значений v, удовлетворяющих ус- ловию (1.3.20), для которых соответствующее решение задачи (1.3.23), (1.3.24) удовлетворяет включениям (1.3.25)

(1.3.26)

Gj(v,x^(t)) Є J7(t), t — 0,1,.. .,п — 1, x](t)eX(t), t = 1,..., п. Теорема 1.3.4. Предположим, что в задаче 1.3.4 функции /, Gj и Ft непрерывны по совокупности аргументов. Тогда в случае непустоты множества V?d задача 1.3.4 разрешима.

<< | >>
Источник: АШИМОВ А. А., БОРОВСКИЙ Ю.В., СУЛТАНОВ Б. Т., АДИЛОВ Ж.М., НОВИКОВ Д. А., АЛШАНОВ Р. А., АШИМОВ А. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование национальной экономики. М.: Издательство Физико-математической литературы,. 324 c. 2011

Еще по теме 1.3. Методы синтеза и выбора (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования развития экономической системы страны, условия существования решения соответствующих задач вариационного исчисления и условия влияния на них неуправляемых параметров 1.3.1. Исследование условий существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической сис:

  1. 1.3.3. Исследование условий существования решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования на базе дискретной стохастической динамической системы
  2. 1.3.4. Исследование влияний изменения неуправляемых параметров (параметрических возмущений) на результаты решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования.
  3. 1.4. Алгоритм применения теории параметрического регулирования и правила взаимодействия лиц, принимающих решения по выработке и осуществлению эффективной государственной экономической политики на базе информационной системы поддержки принятия решений 1.4.1. Алгоритм применения теории параметрического регулирования. Применение разрабатываемой теории параметрического регулирования эволюции рыночной экономики для выработки и осуществления эффективной государственной экономической политики пр
  4. 4.1.3. Нахождение оптимальных законов параметрического регулирования на базе CGE-модели секторов экономики Подавление циклических колебаний макроэкономических показателей методами параметрического регулирования.
  5. 4.2.3. Нахождение оптимальных законов параметрического ре- гулированияна базе CGE-модели с сектором знаний Подавление циклических колебаний макроэкономических показателей методами параметрического регулирования.
  6. • Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования • Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация • Математический аппарат • Геометрическая интерпретация задачи • Симплексный метод решения задачи 2.1. Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования
  7. 3.2.5. Исследование зависимости оптимального закона параметрического регулирования от значений неуправляемого параметра математической модели Гудвина.
  8. Нахождение оптимальных законов параметрического регулирования на базе стохастической CGE-модели с сектором знаний.
  9. 4.5. Природопользование, экономическая география и регионалистика экономические стимулы рационального использования природных ресурсов; экономические стимулы охраны природных ресурсов; методы обоснования развития экономики региона; экономическое районирование России; специализация и комплексное развитие хозяйства регионов страны в условиях перехода к рыночной экономике
  10. Условия оптимального выбора факторов производства
  11. Алгоритм принятия управленческого решения по выбору антикризисной стратегии развития некоммерческой организации
  12. Прусова С.Б.* Развитие автомобильной промышленности стран БРИК в условиях мирового финансово-экономического кризиса
  13. Технология решения задач финансового менеджмента в условиях АИТ
  14. Экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления
  15. 3.1. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач
  16. § 1. Алгоритм и общие принципы планирования инвестиционной деятельности генерирующей компании в условиях развития конкурентного рынка
  17. 15.5. Решение транспортной параметрической задачи.
  18. Нахождение оптимальных законов параметрического регули- рованияна базе стохастической CGE-модели секторов экономики.
  19. 17.7 Свойства решений параметрической задачи оптимизации
  20. Алгоритмы решения задач