<<
>>

1.3.4. Исследование влияний изменения неуправляемых параметров (параметрических возмущений) на результаты решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования.

Ниже приводятся результаты исследования влияний изменения неуправляемых па- раметров и точек бифуркации при параметрических возмущениях задач вариационного исчисления по синтезу и выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) законов параметрического регулирования.
Ограничения этих задач представлены фазовыми ограничениями и ограничениями в разрешенной форме.

Функционалы или фазовые ограничения, ограничения в разрешенной форме рассматриваемых задач часто зависят от значений векторного параметра. Исследования таких задач требуют, прежде всего, нахождения достаточных условий непрерывности оптимальных значений критериев оптимальности, рассматриваемых как функции от неуправляемых параметров.

При решении задач выбора (в среде заданного конечного набора алгоритмов) законов параметрического регулирования требуется определение бифуркационной точки, условий ее существования и анализа бифуркационного значения параметра. При параметрическом регулировании механизмов рыночной экономики нахождение экстремали соответствующей задачи и ее вид может зависеть от значений некоторых неуправляемых параметров и определение бифуркационного значения имеет практический смысл.

Исследование непрерывной зависимости оптимальных значений критериев задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования от значений неуправляемых параметров. Следующие определение и лемма имеют вспомогательный характер для доказательства непрерывной зависимости оптимальных значений критерия сформулированных выше задач вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования от значений неуправляемых параметров.

Определение 1.3.1. Пусть для семейства подмножеств {Ua} некоторого множества U банахова пространства с параметром a из некоторого подмножества А евклидова пространства определено семейство функций Ka(u), a ? A, u ? Ua.

Семейство {Ua} назовем К-непрерывным на множестве А, если для любого є > О найдется такое число 8 > 0, что при выполнении неравенства \а — Ъ\ ^ 8, а, Ъ Є А, для любой точки иа Є Ua найдется такая точка щ Є Щ, что имеет место неравенство \Ка(иа) — Ка(щ)\ < є.

Согласно этому определению семейство множеств {Ua} является iC-непрерывным, если в случае достаточно близости параметра b к а для любого элемента из множества Ua найдется сколь угодно близкий (по значению функций) к нему элемент множества Ufj-

Лемма 1.3.1. Пусть A u U — некоторые подмножества евклидова и банахова пространств соответственно U компакт; все элементы семейства замкнутых подмножеств {Ua} лежат в U. Пусть отображение (а,и) —> Ка(и) непрерывно на произведении А х U. Пусть семейство подмножеств {Ua} непрерывно во всех точках некоторой окрестности точки ао Є

Є А. Тогда отображение а —> тахКа(и) является непрерыв-

UGUa

ным в точке ао Є А.

Доказательство приведено в приложении А.

Сформулируем теперь теорему о достаточных условиях непрерывной зависимости оптимальных значений критериев задач 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5 от неуправляемого параметра.

Для всех упомянутых задач будем предполагать, что все множества X(t), U(t) компактны, множества (J X(t) ж

te(t0,t0+T]

(J U(t) для задач 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5 являются ограничен-

te[t0,t0+T)

ными; множества Л связные и открытые. Предполагается также, что выполняются условия соответствующих теорем 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5, которые гарантируют непрерывную зависимость рассматриваемых состояний системы хи\(t) (или Е[жи.д(і)] для стохастических задач) и критериев оптимальности задач 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5: К = К (и, А), от соответствующих значений управляемых (и) параметров (или законов управления) и неуправляемых (А) параметров в определенных указанными теоремами множествах и с указанными метриками.

Теорема 1.3.7. Пусть при любом А Є Л выполняются условия теорем 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5. Тогда оптимальные значения критериев соответствующих задач 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5 являются непрерывными функциями параметра А Є Л.

Доказательство приведено в приложении А.

Исследуем теперь условия непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задач вариационного исчисления по выбору законов параметрического регулирования от неуправляемых параметров.

Теорема 1.3.8. Пусть при любом А Є Л выполняются условия теорем 1.3.2, 1.3.4, 1.3.6.

Тогда для выбранного значения номера закона j оптимальные значения критериев Kj соответствующих задач 1.3.2, 1.3.4, 1.3.6 являются непрерывными функциями параметра Л Є Л.

Доказательство приведено в приложении А.

Следствие 1.3.1. При выполнении условий теоремы 1.3.8 оптимальные значения критериев задач 1.3.2, 1.3.4, 1.3.6 являются непрерывными функциями параметра А Є Л.

Доказательство приведено в приложении А.

Исследование точек бифуркации экстремалей задач вариационного исчисления по выбору законов параметрического регулирования. Введем следующее определение, характеризующее такие значения неуправляемого параметра А Є Л, при которых возможна замена одного оптимального закона регулирования на другой.

Определение 1.3.2. Параметр А Є Л назовем точкой бифуркации экстремалей для задачи 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6, если существуют два различных номера законов регулирования i,j Є Є {1,.. .,г} таких, что справедливо соотношение

max Ki(v,\) = max Kj(v, A) = max max Kj(v, A).

При этом дополнительно требуется, чтобы в любой окрестности точки А нашлась такая точка Аі Є Л, для которой

max max Kj{v,\i) достигался бы для единственного значе- j=l,...,r vGVJ

аа,Лі

ния j номера закона.

Следующая теорема дает достаточные условия для существования точки бифуркации экстремалей рассматриваемых вариационных задач по выбору закона параметрического регулирования в заданной конечной среде алгоритмов для случаев непрерывной детерминированной, или дискретной детерминированной, или стохастической динамической системы.

Теорема 1.3.9. Пусть при любом А Є Л, где Л — открытое связное множество, выполняются условия теорем 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6 и существует два значения параметра Ао и Аі (Ао ф Аі; Ао,Аі Є Л), для которых решения соответствующих задач выбора оптимальных законов параметрического регулирования достигаются для двух различных законов Gj0, Gj1

(Іо Ф ji) из заданного конечного набора, ш. е.

max max Kj(v, Aq) < max Kj0(v, Aq),

VEV™

7 = 1,....Г vEV3 J / ' a(

]Фзо

max max .fTj^Ai) < max Kj1(v, Ai).

ІФІ і Тогда имеется хотя бы одна точка бифуркации экстрем,алей задачи 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6.

Доказательство приведено в приложении А.

Следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы 1.3.9.

Следствие 1.3.2.

Пусть при любом А Є Л, где Л — открытое связное множество, выполняются условия теорем 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6 и при значении А = Ао регулирование с помощью закона Gj0 из заданного конечного набора законов параметрического регулирования дает решение задачи 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6, а при А = Ai (Ао ф Лі; Ао,Аі Є Л) регулирование с помощью этого закона не дает решение рассматриваемой задачи 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6. Тогда имеется хотя бы одна точка бифуркации экстремалей указанной задачи.

Доказательство приведено в приложении А.

В завершение приведем численный алгоритм нахождения бифуркационного значения параметра А одной из задач 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6 по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) законов параметрического регулирования и при выполнении условий теоремы 1.3.9.

Соединим точки Ао и Ai гладкой кривой S С Л. Разобьем эту кривую на п равновеликих частей с достаточно малым шагом. Для полученных значений (точек) /Зі Є S, і = 0,1,..., п, /Зо = Ао, f3n = Ai определяются номера законов параметрического регулирования j-i, доставляющих решение задачи 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6 при значении параметра А = /3,. Затем находится первое значение і, при котором соответствующий номер закона отличается от В этом случае бифуркационное значение параметра А лежит на дуге (Pi-i,Pi) кривой S.

Для найденного участка кривой алгоритм определения точки бифуркации с заданной точностью є состоит в применении метода половинного деления. В результате находится точка 7 Є (/?j_i,/?,), с одной стороны от которой на этой дуге в пределах отклонения є от значения 7 оптимальным законом является Gj0, а с другой — в пределах отклонения є от значения 7 этот закон оптимальным не является. Из следствия 1.3.2 следует, что существует точка бифуркации экстремалей решаемой задачи на указанной дуге.

<< | >>
Источник: АШИМОВ А. А., БОРОВСКИЙ Ю.В., СУЛТАНОВ Б. Т., АДИЛОВ Ж.М., НОВИКОВ Д. А., АЛШАНОВ Р. А., АШИМОВ А. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование национальной экономики. М.: Издательство Физико-математической литературы,. 324 c. 2011

Еще по теме 1.3.4. Исследование влияний изменения неуправляемых параметров (параметрических возмущений) на результаты решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования.:

  1. 1.3. Методы синтеза и выбора (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования развития экономической системы страны, условия существования решения соответствующих задач вариационного исчисления и условия влияния на них неуправляемых параметров 1.3.1. Исследование условий существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической сис
  2. 1.3.3. Исследование условий существования решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования на базе дискретной стохастической динамической системы
  3. 3.2.5. Исследование зависимости оптимального закона параметрического регулирования от значений неуправляемого параметра математической модели Гудвина.
  4. 4.1.3. Нахождение оптимальных законов параметрического регулирования на базе CGE-модели секторов экономики Подавление циклических колебаний макроэкономических показателей методами параметрического регулирования.
  5. 4.2.3. Нахождение оптимальных законов параметрического ре- гулированияна базе CGE-модели с сектором знаний Подавление циклических колебаний макроэкономических показателей методами параметрического регулирования.
  6. 1.4. Алгоритм применения теории параметрического регулирования и правила взаимодействия лиц, принимающих решения по выработке и осуществлению эффективной государственной экономической политики на базе информационной системы поддержки принятия решений 1.4.1. Алгоритм применения теории параметрического регулирования. Применение разрабатываемой теории параметрического регулирования эволюции рыночной экономики для выработки и осуществления эффективной государственной экономической политики пр
  7. Нахождение оптимальных законов параметрического регулирования на базе стохастической CGE-модели с сектором знаний.
  8. 3.2.4. Исследование структурной устойчивости математической модели Гудвина с параметрическим регулированием.
  9. 17.7 Свойства решений параметрической задачи оптимизации
  10. 15.5. Решение транспортной параметрической задачи.
  11. Нахождение оптимальных законов параметрического регули- рованияна базе стохастической CGE-модели секторов экономики.
  12. 3.2.2. Исследование структурной устойчивости математической модели Гудвина без параметрического регулирования.
  13. 4.1. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики 4.1.1. Описание модели, параметрическая идентификация и ретроспективный прогноз
  14. 1.5. Примеры применения теории параметрического регулирования 1.5.1. Математическая модель неоклассической теории оптимального роста
  15. 2.1. Макроэкономический анализ состояния национальной экономики на базе моделей IS, LM, IS-LM, общеэкономического равновесия Кейнса, исследование влияний экономических инструментов на условия равновесия и параметрическое регулирование статического равновесия национальной экономики на основе модели Кейнса
  16. Оценка структурной устойчивости математической модели цикла Кондратьева с параметрическим регулированием.