<<
>>

Подходы к отражению профилей частных инвесторов посредством функций полезности

Зарождение теории выбора портфеля связывают с именами Д. Бернулли, Л. Башелье [29] и др. Начало современной теории полезности инвестора положила работа Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна [173].

На практике функция полезности частного инвестора реализуется через понятие инвестиционного профиля, т.к. последний представляет собой «цели клиента на определенный период и риск, который он способен нести в этот период» [181, c.19]. Как было показано ранее, функция полезности - это зависимость степени удовлетворенности клиента от потенциала к генерированию доходности и риска портфеля, что согласуется с вышеприведенным определением профиля инвестора.

Наиболее сложной проблемой в теории представляется выбор вида функции полезности. Дискуссия по этому поводу получила начало практически сразу после выхода работы Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна. Как было показано ранее, функции полезности инвестора, существующие в литературе, имеют либо один аргумент (богатство, доход, доходность), либо два аргумента - доход (доходность) и риск. Отдельные работы, например, В. Закамулина и Ш. Кекебаккера [179], также предполагают возможность включения третьего и четвертого факторов (асимметрии и эксцесса) в функцию полезности. Далее мы будем придерживаться этой классификации и рассмотрим отдельно виды функций полезности с одним, двумя и более факторами.

Однофакторные функции полезности

В 1948 году М. Фридман и Л. Дж. Сэвидж [76] высказали предположение, что для большинства индивидов, принимающих решения, низкий уровень риска, равно как и высокий, предпочтителен по отношению к среднему уровню. Таким образом, график функции полезности дохода принимает следующую специфическую форму (рис. 1):

Рисунок 1. Функция полезности дохода в трактовке Фридмана- Сэвиджа.

Источник [76]

Авторы дают следующее экономическое объяснение данной функциональной форме: если некое рискованное действие позволяет индивиду кардинально изменить (в лучшем случае) уровень жизни, ожидаемая полезность этого действия будет выше, чем полезность математического ожидания дохода от данного действия. Следовательно, субъект в данном случае оказывается склонным к риску. В противном случае, если выигрыш от принятия риска не сулит кардинального изменения уровня жизни, субъект испытывает отвращение к риску. Таким образом, дифференциация дохода порождает различия в склонности к риску. Согласно предложенному подходу, наименее склонны к риску самые богатые и самые бедные слои населения. Положительное отношение к риску может наблюдаться скорее у среднего класса.

В 1952 году Г. Марковиц [122] на основании данных проведенного качественного исследования оспорил гипотезу Фридмана-Сэвиджа, предположив, что принципиально вид функции полезности дохода не зависит от величины богатства индивида. Функция полезности Г. Марковица имеет три точки перегиба: серединная точка соответствует привычному уровню богатства, две другие точки находятся справа и слева от нее и характеризуют изменение отношения к риску при изменении масштабов дохода/убытка. Графически подобную функцию можно изобразить следующим образом (рис. 2):

Рисунок 2. Функция полезности дохода в трактовке Г. Марковица. Источник: [122]

Таким образом, можно сделать вывод, что склонность субъекта к риску зависит от величины потенциального выигрыша. Индивид склонен выбирать более рискованную альтернативу (с более высоким доходом в случае удачи), если доход от выполнения обеих сравнительно невелик, однако воздерживается от риска, если доход превышает определенную величину. В случае, если все альтернативы связаны с убытком, ситуация выглядит асимметрично. Если обе альтернативы в результате приведут к небольшому убытку, субъект склонен выбирать менее рискованную альтернативу (фиксированная величина убытка).

Но существует точка, после которой индивид может соглашаться на риск с целью минимизации возможного уровня убытка.

Положение точек перегиба определяется уровнем богатства индивида. По мнению Г. Марковица, чем богаче индивид, тем дальше обе точки перегиба находятся от центральной.

В дальнейшем общепринятой стала точка зрения о том, что субъект, принимающий решение, испытывает неприятие к риску. Г. Марковиц [123, 124], К. Эрроу [27], Дж. Пратт [140], Дж. Стиглиц [21] и другие высказывали

различные мнения относительно степени неприятия риска. К. Эрроу и Дж. Пратт предложили измерять неприятие к риску через абсолютные и относительные коэффициенты (как функции богатства w):

Оба коэффициента характеризуют поведение инвестора при изменении его богатства. Если функция относительного неприятия риска R (w) растущая, то при росте богатства инвестор склонен сокращать долю рисковых активов в портфеле. Если функция абсолютного неприятного риска Л(ш) растущая, то при росте богатства инвестор будет сокращать не только долю, но и абсолютную величину, приходящуюся на рисковые активы (и наоборот).

В литературе не существует единого мнения по поводу динамики коэффициентов неприятия риска. Г. Марковиц предлагает использовать квадратичную функцию для описания полезности инвестора, что свидетельствует о растущих относительном и абсолютном коэффициентах неприятия риска. По мнению К. Эрроу и Дж. Пратта, индивидуальные функции полезности характеризуются падающим абсолютным и растущим (более низкими темпами) относительным коэффициентами неприятия риска. Дж. Стиглиц подвергает сомнению предположение о растущем относительном коэффициенте неприятия. В. Бава [30] принимает в качестве предпосылки падающий характер абсолютного коэффициента неприятия. На современном этапе в теории рассматриваются функции полезности с любой динамикой представленных коэффициентов, однако чаще всего используется экспоненциальная функция вида

В качестве альтернативы теории ожидаемой полезности в 1979 году Д.

Канеманом и А. Тверски [103] была предложена теория перспектив. Авторы подвергают сомнению основные положения теории ожидаемой полезности,

вводя понятие «эффекта определенности». Типичный индивид склонен переоценивать события, которые он считает «определенными» (т.е. вероятность наступления которых высока). Кроме того, при оценке различных перспектив наблюдается «эффект отражения»: при рассмотрении перспектив с убытками субъект в большей степени склонен к риску, нежели при рассмотрении перспектив получения прибыли. Таким образом, функция ценности (аналог функции полезности) имеет следующий вид (рис. 3).

Рисунок 3. Функция ценности дохода в трактовке Д. Канемана и А.Тверски. Источник: [103]

Как видно из рис. 3, в районе «статуса кво» (начала координат) функция претерпевает резкий перегиб. Это связано с принципиальным отличием в отношении к риску убытка и к потенциалу получения дохода. Для сравнения, в аналогичной функции Г. Марковица переход от одного состояния в другое был плавным. Кроме того, углы наклона разных участков кривой также различаются. П. Фишберн и Г. Кохенбергер [73] эмпирически продемонстрировали жизнеспособность данной предпосылки, добавив, что под «статусом кво» может пониматься не только и не столько нулевой уровень

дохода, сколько доход, соответствующий некому целевому значению (фактически, адаптировав гипотезу Э. Роя [143] к случаю функции полезности).

Различия в перечисленных выше подходах к анализу полезности связаны с предпосылками об отношении субъекта к риску получения убытка и к потенциальной возможности получения дохода. Кроме того, в ходе развития теории полезности возникла точка зрения о том, что функция полезности может иметь точки перелома в неких целевых значениях дохода [171]. На современном этапе такие точки перелома могут включать в себя уровень выживания (максимальную величину убытка, после которой уровень жизни субъекта становится недопустимо низким), уровень насыщения (уровень, при котором базовые потребности человека удовлетворены), а также доход одного или более бенчмарка.

Рисунок 4. Пример функции полезности с несколькими точками перелома. Источник: [171]

Как видно из рис. 4, если убыток превышает максимально возможный для сохранения жизнеспособности субъекта, склонность к риску резко падает. Отрицательное отношение к риску также наблюдается, если субъект получает убытки, но их величина меньше величины бенчмарка. В случае убытков желание идти на риск возникает тогда, когда убытки превышают убыток бенчмарка, но не угрожают жизнеспособности субъекта (предположительно, индивид в данном случае пытается «отыграться»).

На уровне безубыточности наблюдается перегиб, поскольку, согласно гипотезам Г. Марковица [122], Д. Канемана и А. Тверски [103], отношение к доходам и к потерям у субъекта отличается.

Если индивид получает доход, то интерес к риску возникает в двух случаях: если получаемый доход ниже бенчмарка или если он превышает уровень насыщения. В противном случае субъект стремится к сохранению полученного дохода и не рискует.

Двухфакторные функции полезности

Как отмечалось ранее, любой показатель типа RAPM может рассматриваться как двухфакторная функция полезности с прямой зависимостью от доходности и обратной зависимостью от риска. В основе такой функции полезности лежит традиционный подход оценки экономической эффективности - отношение эффекта (прироста, результата) к затратам, его порождающим. Однако можно выделить разные подходы к трактовке как эффекта, так и затрат. Под затратами в данном контексте чаще всего понимается величина риска в том или ином определении, а под эффектом - превышение доходности портфеля активов над целевой величиной.

Первой функцией полезности такого типа является так называемый коэффициент Шарпа [150, 151]. Этот индекс лежит в основе большинства последующих коэффициентов, оценивающих соотношение доходности и риска. Де-факто коэффициент Шарпа является функцией полезности, потому

что на основании его максимизации может осуществляться формирование портфеля или выбор наилучшего из существующих.

Коэффициент Шарпа [151] (SR)вычисляется по следующей формуле:

- ожидаемая доходность бумаги или портфеля

- доходность безрискового актива

- стандартное отклонение бумаги или портфеля.

Таким образом, индекс Шарпа показывает соотношение премии за риск по сравнению с безрисковой ставкой и показателя рискованности портфеля. Популярность этого индекса объясняется простотой интерпретации его экономического смысла. Тем не менее, существует ряд ограничений, невыполнение которых может приводить к ошибочному выбору на основании индекса Шарпа. Можно выделить следующие условия [136]:

• Единственным фактором, влияющим на решение об инвестировании,

является ожидаемая доходность по окончании периода; инвестор всегда предпочитает высокую доходность низкой. Тем не менее, в отдельных случаях данное предположение не выполняется (например, инвестора может волновать не столько доходность, сколько получение корпоративного контроля).

• Богатство инвестора размещено оптимально между безрисковым активом и любыми из рисковых активов. Это, по сути, означает, что индекс Шарпа не может использоваться для оценки инкрементных инвестиций, поскольку он не учитывает корреляцию между ними и существующим портфелем.

• Как рисковые, так и безрисковые активы могут находиться в длинной и короткой позициях в неограниченном количестве. Данная предпосылка не выполняется, если в портфеле не разрешено держать короткую позицию в определенных активах (например, это справедливо для паевых инвестиционных фондов)

• Ожидаемая доходность и стандартное отклонение - необходимые и достаточные характеристики для определения предпочтений инвестора. Следовательно, индекс Шарпа не дает оптимальных результатов, если доходность активов распределена по закону, отличному от нормального (например, если распределение имеет асимметрию или характеризуется эксцессом, отличным от нормального).

• Оптимизация портфеля по коэффициенту Шарпа предполагает, что кривая безразличия является линейной функцией требуемой доходности от волатильности. Иными словами, данная модель будет работать только в том случае, если требуемая премия за риск прямо пропорциональна риску, т.е. предельная норма замещения риска доходностью постоянна.

• Для инвесторов характерно неприятие риска (risk aversion), в том смысле, что более высокие кривые безразличия имеют более высокий показатель предельной нормы замещения риска доходностью.

Карта кривых безразличия для коэффициента Шарпа выглядит так, как показано на рис. 5 (г/ - безрисковая ставка):

Рисунок 5. Семейство кривых безразличия для функции полезности, равной коэффициенту Шарпа

Кроме вышеперечисленных ограничений, существуют и другие недостатки индекса Шарпа. В частности, он дает неправильные результаты в случае, если доходность инструмента не превышает безрисковую ставку (в этой ситуации при одном и том же уровне доходности приоритет будет отдаваться активам с большим риском, что противоречит логике). Существует метод корректировки коэффициента Шарпа, предложенный К. Израэльсеном [96], предполагающий, что если доходность выше безрисковой ставки, используется частное премии и стандартного отклонения, а в обратном случае - их произведение:

Однако и данная корректировка не позволяет корректно оценивать полезность безрисковых портфелей. При использовании коэффициента Шарпа безрисковые портфели всегда будут переоценены (их полезность стремится к бесконечности), а при использовании модифицированной формы - нулю, что не всегда является корректным.

Помимо технических недостатков, описанных выше, следует отметить, что риск в данной модели понимается как среднее квадратическое отклонение (в любую сторону!) от ожидаемой доходности. Ранее было оговорено, что отношение инвестора к потенциалу и риску может различаться. С этим и другими недостатками связано возникновение различных модификаций индекса Шарпа. Классификация таких модификаций представлена на рис. 6.

Рисунок 6. Функции полезности, производные от коэффициента Шарпа [151]

Рассмотрим характеристики каждой из представленных выше групп.

• Поправки в числителе. Корректировка числителя связана с внесением изменений в определение эффекта инвестирования в актив или портфель. С нашей точки зрения, необходимо выделить два значимых изменения:

о Замена безрисковой доходности на доходность бенчмарка. Показатели, включающие в себя подобную корректировку, являются более общим случаем по сравнению с базовым показателем Шарпа: под бенчмарковой доходностью можно понимать как безрисковую, так и любую другую ставку. Эта поправка важна, поскольку в настоящее время возникают трудности с определением понятия безрискового актива и, как следствие, безрисковой доходности[I].

Таким образом, в рамках данного подхода можно в качестве порогового значения принимать любую ставку доходности. Например, это может быть требуемая данным инвестором минимальная доходность на вложения, темп инфляции, принятый за минимальный уровень доходности и тому подобные показатели.

о Введение потенциала генерирования дохода. Как было определено ранее, потенциал понимается как возможность превышения фактического результата над определенным ожидаемым значением. Таким образом, термин «потенциал» может трактоваться достаточно широко. Определенные показатели учитывают в качестве показателя эффекта правосторонний момент (начальный, центральный или произвольный) показателя доходности. Существуют также показатели (например, коэффициент Омега [106]), в числителе которых находится цена опциона колл, выпущенного на данный актив[II].

Подводя итог, можно сказать, что числитель функции полезности, характеризующий потенциал, может быть выражен через следующие характеристики:

• Премия за риск - превышение ожидаемой доходности портфеля над безрисковой ставкой [150, 151].

• Премия над порогом - превышение ожидаемой доходности над произвольным пороговым значением [143] (например, ожидаемыми темпами инфляции).

• Альфа (превышение ожидаемой доходности портфеля над скорректированной на риск среднерыночной доходностью) [99].

• Drawup - максимальный за наблюдаемый период темп роста стоимости портфеля (аналог «просадки» [37, 177, 178] - фактически наибольшая разница между локальным максимумом и предшествующим ему локальным минимумом, выраженная в процентах от локального минимума).

• Квантиль распределения доходности (уровня 0,5 и выше). Квантиль - это значение случайной величины, которое не будет

превышено с заданной вероятностью. Квантиль уровня 0,5 - это медиана доходности. [34, 40, 56].

• Expected Tail Return - условная ожидаемая доходность в случае, если она превышает определенный заданный квантиль [34].

• UPM (правосторонний частный момент) - среднее значение степени n отклонения доходности от некого произвольного порога (нуля, безрисковой ставки или иного), при условии, что доходность превышает его [32, 68, 107, 154, 155, 171, 172].

Преимущества и недостатки описанных методов оценки потенциала представлены в табл. 1.

Таблица 1. Сравнительный анализ методов оценки потенциала портфеля к генерированию дохода

Продолжение таблицы 1

• Поправки в знаменателе. Знаменатель индекса Шарпа представляет собой меру риска данного инструмента или портфеля. Можно выделить две группы значимых изменений:

о Разложение общего риска на системный и несистемный. Одним из «золотых правил» инвестирования является правило диверсификации: вложение в разные, отрицательно коррелированные активы помогает снизить общий риск портфеля за счет элиминирования специфического (несистемного) риска отдельного инструмента. В связи с этим оценка актива с позиций общего риска некорректна. Таким образом, существуют показатели, которые в качестве меры риска используют бета-коэффициент [35, 115, 167, 168, 169], показывающий уровень только системного риска. В свою очередь, премия за несистемный риск тоже подлежит оценке. В этом случае в числителе указывается премия за специфический риск, а именно коэффициент альфа [99, 167, 168, 169].

о Учет неприятия только отрицательного проявления риска. Стандартное отклонение доходности актива не является идеальным показателем меры риска, поскольку оно учитывает изменение доходности как в отрицательную, так и в положительную сторону. При этом очевидно, что инвестор испытывает неприятие только в отношении отрицательного проявления риска, т.е. потерь. Соответственно вводятся показатели, имеющие в знаменателе меру одностороннего проявления риска. Наиболее обобщенный показатель - левосторонний момент (начальный, центральный или произвольный) порядка n; существуют также другие показатели, в частности, индексы просадки и прочие. Особо можно

выделить показатели эффективности, основанные на показателе VaR и его модификациях.

Таким образом, знаменатель функции полезности может быть выражен через следующие показатели:

Двусторонние

• Волатильность - величина стандартного отклонения доходности от ожидаемого значения [123, 150, 151].

• Среднее линейное отклонение - среднее значение модуля отклонения доходности от ожидаемого значения. [109, 110, 111].

• Коэффициент Джини - мера разброса премии портфеля, определяемая как половина ожидаемого значения модуля премии. [176].

• Бета - стандартизированная ковариация доходности портфеля со среднерыночной доходностью [35, 167, 168, 169].

• L-момент - размах значений между квантилями уровня а и 1-а [56].

• Несистематическое стандартное отклонение - ошибка регрессии в уравнении CAPM [79, 88, 131].

Односторонние

• Просадка - максимальное процентное падение стоимости портфеля (между локальным максимумом и последующим локальным минимумом), выраженное в % от локального максимума [37, 177, 178].

• Максимальный убыток за горизонт [178].

• VaR - квантиль уровня ниже 0,5, т.е. максимальная величина убытка (минимальная величина прибыли) на определенном уровне значимости [28, 50, 59, 60, 69].

• Expected Tail Loss - условный средний убыток в случае, если фактический убыток превышает VaR [28, 34].

• Спектральная мера риска - средневзвешенное (с учетом весовой функции) значение квантилей доходности [16, 17, 18, 28].

• Одностороннее стандартное отклонение - среднее квадратическое значение отрицательных отклонений доходности от ожидаемого значения [155, 156, 157, 158, 180].

• LPM (начальный или произвольный левосторонний частный момент) - среднее значение степени n отрицательных отклонений доходности от 0 или другого произвольного значения[32, 68, 104, 105, 106, 155, 156, 157, 158, 180].

Далее в табл. 2 приведен сравнительный анализ различных подходов к оценке риска портфеля.

Таблица 2. Сравнительный анализ методов оценки риска портфеля

Продолжение таблицы. 2

Среди показателей, оценивающих инвестиционные стратегии с учетом предпочтений инвесторов относительно потенциала и риска, можно выделить следующие группы:

• L-коэффициенты - показатели, рассчитанные на основании квантилей функции распределения доходности:

В числителе данного показателя находится медиана распределения доходности портфеля. Квантиль уровня α q(α)фактически является показателем VaR на заданном уровне значимости. В знаменателе, таким образом, определяется размах между двумя заданными квантилями. Предполагается, что уровень значимости α может принимать значения от 0 до 0,5 и определяться исходя из предпочтений инвестора: чем выше склонность к риску, тем больше значение α (хотя способ определения конкретного значения на практике не вполне ясен).

По нашему мнению, целесообразно для определения квантильных мер потенциала и риска использовать исторический метод построения функции распределения, поскольку, с одной стороны, в данных присутствуют существенные отклонения от нормального распределения, с другой стороны, исторический метод позволяет провести объективную оценку.

• R-коэффициенты - определяются как отношение показателей Expected Tail Loss и аналогичного ему Expected Tail Return:

Данный коэффициент можно определить для любой пары уровней значимости, удовлетворяющих условию

Фактически в данном показателе возможен раздельный учет предпочтений относительно потенциала и риска, поскольку соответствующие уровни значимости не находятся в зависимости.

41

Как и в предыдущем примере, ETR и ETL целесообразно определять на основе исторического метода.

• UPM/LPM-коэффициенты. Данная группа основана на определении односторонних моментов распределения доходности. Порядок момента зависит от склонности к риску и от предпочтений относительно потенциала.

Показатель определяется по следующей формуле:

Представляется, что подобная спецификация достаточно чувствительна к изменению профиля, однако подбор показателя степени достаточно проблематичен на практике.

Функции полезности с тремя и более аргументами

Вследствие того, что коэффициент Шарпа дает не вполне адекватные оценки для портфелей, распределенных по отличному от нормального закону, отдельными исследователями было предложено вводить в функцию полезности в качестве аргументов не только ожидаемую доходность и стандартное отклонение, но и моменты более высокого порядка (асимметрию и эксцесс). Предполагается, что инвестор предпочитает положительную асимметрию отрицательной (поскольку в этом случае вероятность получения доходности сверх ожидаемой выше) и отрицательный эксцесс положительному (вследствие нетолерантности к риску).

Наиболее простой способ учесть в модели асимметрию (Skew) и эксцесс (Kurt) был предложен Я. Ватанабе [174]. В данном методе более высокие моменты вводятся в формулу явно наиболее простым способом - через их отношение (7):

Более сложная формула была предложена В. Закамулином и Ш. Кекебаккером [179]:

Как видно из формулы (8), коэффициент при параметре «асимметрия» основан на знании однофакторной функции полезности богатства. Таким образом, фактически использование данной функции сводится к определению истинной формы однофакторной функции полезности от богатства.

Поскольку оба способа являются корректировкой коэффициента Шарпа, они разделяют присущие к нему недостатки. Кроме того, определение функции полезности в явном виде через асимметрию и эксцесс сложно на практике, поскольку представляется затруднительным определение профиля инвестора по отношению к этим параметрам.

В неявной форме учет асимметрии и эксцесса характерен для описанных выше показателей UPM и LPM, если в качестве соответствующих моментов используются моменты третьего и четвертого порядка. Однако идея методики связана не столько с вводом асимметрии и эксцесса в качестве аргументов, сколько с учетом поведенческих различий в отношении инвестора к риску. Поэтому порядок момента в такой модели должен выбираться произвольно, на основе анализа профиля инвестора.

Обобщая, можно отметить, что не существует единого подхода к моделированию типичной функции полезности инвестора. По всей вероятности, предпочтения инвестора изменяются в результате увеличения/уменьшения уровня богатства. Предельная полезность доходности и риска также не являются постоянными.

Из описанного выше ясно, что большая часть функций полезности, существующих в литературе, являются едиными для всех инвесторов (например, коэффициент Шарпа и его производные). Однако на практике предпочтения инвесторов относительно потенциала и риска различаются. По этой причине представляется необходимым определение поведенческих параметров для инвестора и введение их в функцию полезности. На данный

момент существуют методики, позволяющие учитывать отношение к потенциалу и риску, но на практике выявление поведенческих параметров, заложенных в модель, представляет собой трудновыполнимую задачу.

<< | >>
Источник: Олькова Анна Евгеньевна. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ ДЛЯ ЧАСТНОГО ИНВЕСТОРА НА ОСНОВЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Москва, 2018. 2018

Еще по теме Подходы к отражению профилей частных инвесторов посредством функций полезности:

  1. 1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Функция полезности.
  2. Количественный (кардиналистский) подход к анализу полезности и спроса
  3. 13. Количественный (кардиналистский) подход к анализу потребления: теория предельной полезности
  4. 2 Аксиомы порядкового (ординалистского) подхода к анализу полезности и спроса. Кривые безразличия
  5. 5.1.7. Методы построения функции полезности
  6. Функции полезности, кривые безразличия
  7. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  8. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  9. 3.Ординалистская концепция поведения потребителя 3.1.Ординалистский(порядковый) подход к полезности.
  10. Вопрос 112. Основные типы инвесторов. Индивидуальные и институциональные инвесторы
  11. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  12. 5.1.6. Общественная функция полезности и теорема Нэша