<<
>>

1.3. Ограничения существующих методов построения функций полезности

Как было показано ранее, не существует единой точки зрения по поводу вида функции полезности инвестора. В целом, фундаментальный подход Дж. Фон Неймана и О. Моргенштерна, предполагающий моделирование однофакторной функции полезности богатства, допускает, что визуальная форма функции полезности может быть достаточно сложной (например, как показано на рис.

1-4). В подобной функции участки вогнутости сменяются участками выпуклости.

В связи с этим представляет определенную трудность выявление функции полезности для отдельного инвестора. На практике, по понятным причинам, ни один инвестор (профессиональный или непрофессиональный) не сможет описать свои предпочтения через некую гладкую кривую.

В теории при моделировании полезности инвестора чаще всего используют следующие функциональные формы (W - размер богатства):

1. Логарифмическая

Логарифмическая функция полезности имеет вид

Ее коэффициенты Эрроу-Пратта определяются следующим образом (табл. 3):

Таблица 3. Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты риск- толерантности для логарифмической функции полезности

Подобное поведение коэффициентов Эрроу-Пратта свидетельствует о том, что с ростом величины богатства доля, приходящаяся на рисковые активы, не изменяется. Толерантность инвестора к риску равна 100% богатства. При этом в абсолютной величине вложения в рисковые активы будут расти с ростом богатства (поскольку абсолютный коэффициент неприятия риска является падающей функцией богатства).

2. Степенная

Степенная функция полезности имеет вид

U = Wa. (13)

Коэффициенты Эрроу-Пратта для данной функции определяются следующим образом (табл. 4):

Таблица 4.

Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты риск- толерантности для степенной функции полезности

Абсолютный коэффициент неприятия риска свидетельствует о том, что чем больше богатство инвестора, тем более он склонен к риску и тем большую абсолютную сумму будет вкладывать в рисковые активы. Риск-толерантность инвестора определяется как соответствующая доля богатства. Относительный

коэффициент неприятия риска постоянен, что свидетельствует о неизменно доле рисковых активов в общем объеме богатства.

3. Полиномиальная

Полиномиальная функция полезности имеет вид

I

Коэффициенты Эрроу-Пратта для полиномиальной функции определяются следующим образом (табл. 5):

Таблица 5. Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты риск- толерантности для полиномиальной функции полезности

Абсолютный коэффициент неприятия риска является падающей функцией богатства, что свидетельствует о том, что в абсолютном выражении величина богатства, размещенного в рисковых активах, будет расти с ростом богатства. Однако относительная риск-толерантность является падающей функцией богатства, что свидетельствует о том, что в относительном выражении доля богатства, инвестированная в рисковые активы, будет снижаться при росте богатства.

4. Линейная

Линейная функция полезности имеет вид

I

Все коэффициенты Эрроу-Пратта для подобной функции полезности равны нулю (табл. 6).

Таблица 6. Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты риск- толерантности для линейной функции полезности

В данном случае мы наблюдаем ситуацию, в которой толерантность к риску фактически равна нулю.

Такой субъект всегда будет предпочитать безрисковые вложения рискованным.

5. Экспоненциальная

Экспоненциальная функция полезности имеет вид

I

В табл. 7 представлены коэффициенты Эрроу-Пратта для данной функции полезности.

Таблица 7. Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты риск- толерантности для экспоненциальной функции полезности

По поведению коэффициентов Эрроу-Пратта можно сделать вывод, что сумма, инвестируемая экспоненциальным инвестором в рисковые активы, всегда постоянна, а соответствующая доля снижается с ростом богатства.

Следует отметить, что функции, описанные выше, в качестве аргумента имеют богатство инвестора. По причинам, описанным в 1.1, такой подход не всегда удобен. Однако можно без потери общности заменить в данной функции аргумент на величину дохода/доходности. Однако доход от инвестирования может принимать отрицательные значения, для которых следует модифицировать соответствующие функции. Следует добавить 47

свободный член в некоторых функциях, чтобы соблюдалось равенство U (0) = 0. Кроме того, в этих функциях на замену толерантности к риску придут функции предельной полезности единицы дохода. Ниже перечислены функции, по форме аналогичные ранее описанным, но трансформированные для случая U = f (г):

Таблица 8. Стандартные функциональные формы, используемые для моделирования полезности инвестора

Как ясно из описания выше, в теории смоделированы ситуации монотонного поведения коэффициентов неприятия риска, риск-толерантности и предельной полезности единицы дохода. Между тем, большая часть теоретических и эмпирических исследований поведения инвесторов предполагает, что предельная полезность и другие описанные выше характеристики могут менять характер монотонности на определенных интервалах.

Например, ситуация, показанная на рис. 1-4, описывает случай немонотонного поведения предельной полезности (поскольку характер выпуклости/вогнутости функции меняется).

Иными словами, для моделирования реального поведения инвестора приходится прибегать к комбинированию различных функций полезности.

Фундаментальную проблему также представляет выбор функции полезности из имеющихся. Представляется не вполне ясным, на основании каких признаков можно определить, какую функциональную форму следует использовать для отдельно взятого инвестора. Кроме того, даже при гипотетически заданной функциональной форме полезности представляет трудность адекватный подбор соответствующих параметров.

Описанные выше проблемы позволила бы решить кусочно-линейная аппроксимация функции полезности. Кусочно-линейная аппроксимация используется чаще всего для целей интерполяции (нахождения значений функции между некими узловыми точками) и экстраполяции (нахождения значения за пределами узловых точек). Линейные интерполяция и экстраполяция позволяют найти приближенные значения целевой функции с определенной точностью. Принципиально с помощью кусочно-линейного приближения можно аппроксимировать функцию любой сложности.

При этом в традиционных задачах линейная аппроксимация приводит к потере точности расчета. Однако в связи со спецификой решаемой задачи в данном случае можно утверждать, что методологически кусочно-линейная аппроксимация - не просто способ упрощенного представления целевой функции, а приближенная к реальности модель.

Описанное выше свойство объясняется тем, что функция полезности - это поведенческая характеристика, зависящая от психологических особенностей инвестора. В психологии принято считать, что человеку свойственен порог восприятия, т.е. при малом влиянии раздражителей человек не способен к их восприятию. Если принимать во внимание описанный эффект, можно констатировать, что при относительно небольших изменениях аргумента функции полезности предельная полезность может быть постоянной, а в крайнем случае вообще быть равной нулю.

Однако при переходе через некие критические значения либо валовая, либо предельная полезность могут меняться скачкообразно. Далее для описания подобного явления будет использоваться термин «дискретность восприятия».

При представлении гладкой функции через кусочно-линейную аппроксимацию проблему представляет выбор узловых точек. В теории путем кусочно-линейной аппроксимации можно приблизить любую функцию, однако наиболее удобно использовать данный метод для функций, меняющих характер с выпуклого на вогнутый (как на рис. 1-4). В этом случае линейные участки должны пересекать исходную функцию полезности в точках перегиба. Это объясняется тем, что в окрестностях точки перегиба изменение угла наклона функции (т.е. предельной полезности) стремится к нулю. В качестве концов линейных отрезков предлагается использовать точки, где предельная полезность равна единице. Такой выбор обусловлен тем, что при единичной предельной полезности восприятие инвестором получаемого дохода является адекватным. Если предельная полезность меньше единицы, то инвестор недооценивает получаемый доход, а если больше - переоценивает, впадая в эйфорию. Таким образом, точка единичной предельной полезности

представляет собой точку перелома восприятия (см. рис. 7).

Рисунок 7. Гладкая функция полезности инвестора и ее кусочно­линейная аппроксимация

Данным свойством достаточно удобно пользоваться на практике при моделировании полезности частного инвестора. Представляется сложным подбор гладкой функции полезности, однако путем анкетирования можно выявить точки перелома восприятия инвестора и смоделировать его предпочтения в виде кусочно-линейной функции. Кусочно-линейная аппроксимация также позволяет смоделировать ситуацию абсолютной нетолерантности к риску (абсолютно эластичная функция по риску) и ситуацию насыщения (абсолютно неэластичная функция по доходности).

Из описанного выше можно сделать следующие выводы.

Функция полезности инвестора на фондовом рынке описывает его предпочтения относительно различных инвестиционных альтернатив. Предполагается, что инвестор получает удовлетворение от дохода, будучи при этом вынужденным принимать определенный уровень риска. Аргументами функции полезности являются соответствующие характеристики портфеля. Существуют два подхода к моделированию полезности инвестора - кардиналистский, предполагающий измерение полезности в неких условных единицах, и ординалистский, предполагающий моделирование кривых безразличия между различными характеристиками портфеля.

Существуют одно- и двухфакторные функции полезности. Однофакторные в качестве аргумента могут иметь богатство или доход от инвестирования, а двухфакторные - доход (доходность) и риск. Иногда конструируют более сложные функции полезности, имеющие в качестве аргумента 3 и более переменных, например, асимметрия и эксцесс доходности портфеля.

Основные проблемы, возникающие в анализе полезности, можно суммировать следующим образом:

• Отсутствие устоявшегося понимания терминов «потенциал» и «риск».

• Отсутствие единого подхода к оценке потенциала и риска.

• Отсутствие единой точки зрения по поводу вида функции полезности инвестора.

Визуальные представления функций полезности, выделяемые в литературе, чаще всего являются достаточно сложными, поскольку имеют множество точек перегиба. Точки перегиба характеризуют изменение отношения инвестора к риску. Поскольку на практике применять такие функции достаточно сложно, предлагается использование кусочно-линейной аппроксимации. Правомерность такого метода объясняется тем, что в результате проявления дискретности восприятия у инвестора на определенных отрезках предельная полезность дохода и риска не изменяется. Применение кусочно-линейной аппроксимации позволит моделировать предпочтения отдельно взятого инвестора на практике.

<< | >>
Источник: Олькова Анна Евгеньевна. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ ДЛЯ ЧАСТНОГО ИНВЕСТОРА НА ОСНОВЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Москва, 2018. 2018

Еще по теме 1.3. Ограничения существующих методов построения функций полезности:

  1. 5.1.7. Методы построения функции полезности
  2. Отношение предпочтения, функция полезности и бюджетное ограничение потребителя.
  3. Методы формирования решений. Функции полезности
  4. 1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Функция полезности.
  5. Ограниченность теории предельной полезности[87]
  6. §1. Максимизация полезности при заданном бюджетном ограничении.
  7. 34. Кривые безразличия. Бюджетное ограничение. Положение равновесия потребителя в ординалистской теории полезности.
  8. Аудит торговых операций на оптовых и розничных торговых предприятиях: программа аудита, процедуры средств контроля и по существу. Методы сбора доказательств при процедурах по существу.
  9. Вопрос 4. Теория потребительского выбора: понятие полезности, кривые безразличия предельная норма замещения, бюджетное ограничение
  10. Существующие методы обучения
  11. Функции полезности, кривые безразличия
  12. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  13. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  14. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  15. 5.1.6. Общественная функция полезности и теорема Нэша
  16. Аудит выхода готовой продукции: процедуры по существу, методы сбора доказательств.
  17. 5.1.5. Общественная функция полезности и теорема Эрроу