5.2. Предельная полезность и цены 5.2.1. Двойственные оценки в задачах математического программирования
В простейшей постановке задача оптимального планирования выглядит, как известно, следующим образом. Прямая задача:
найти вектор выпуска х, такой, что ^CjXj-^mdLX. (5.38)
з
при ограничениях
^•>0, (5.39)
(5.40)
3
Двойственная задача: найти вектор г/, такой, что
in (5.41)
г
при ограничениях
у}> 0, (5.42)
1!>ацУг>С], (5.43)
І
где Xj — объем выпуска продукта atj — затраты ресурса і на единицу выпуска продукта /; bt — наличный объем ресурса i\ Cj — цена продукта /'; yt — двойственная оценка ресурса і.
Обозначим оптимальные решения прямой и двойственной задачи как Xj и у*. Если эти решения существуют, то имеют место следующие соотношения:
= (5-44)
3
Уі
1 3
Найдем размерность элементов вектора yt. Предпола- гая, что (5.43) адекватно, получаем, что
КЛ X }уЛ = ]cj[ (для всех і и /),
т. е.
]уЛ = ]cji/]au[.
или
денежная ед. ед. измерения продукта
ед. измерения продукта ед. измерения ресурса Преобразовывая (5.44) или (5.45), также получаем, что размерность двойственной оценки некоторого ресурса равна размерности цены на этот ресурс.
Этот факт побуждает серьезно отнестись к гипотезе: двойственные оценки — это цены на ресурсы. Если принять эту гипотезу, то из (5.44) следует, что оптимальная прибыль равна нулю. (5.44) интерпретируется тогда как «закон сохранения стоимости», а из (5.45) — что оптимальные цены ресурсов равны их предельным эффективностям. Совпадение размерностей цен и двойственных оценок, заманчивая аналогия с законами сохранения в физике, а также совпадение утверждения «двойственная оценка предельной эффективности» с часто принимаемыми на веру догмами наивной теории полезности — все это психологически объясняет (и даже в некоторой степени оправдывает) появление теории, в соответствии с которой цены на ресурсы равны их оптимальным двойственным оценкам. Однако единственным аргументом в пользу этой теории является совпадение размерностей цен и двойственных оценок. Это совпадение необходимо, но недостаточно для обоснования этой теории.(5.46)
2 — 2 biZi,
7 і
Действительно, вернемся к прямой задаче оптимального планирования. К моменту решения этой задачи ресурсы уже имеются в количествах biy т. е. эти ресурсы уже приобретены по некоторым ценам zt, которые не имеют никакого отношения к рассматриваемой задаче. Фактическая прибыль, получаемая от использования этих ресурсов (оптимального или неоптимального), прибыль, которая отражается в бухгалтерских документах, будет, следовательно, равна
а не
2^ — 2 Ьм, (5.47)
З і
так как ресурсы уже приобретены; величину 2 hzi изме-
г
нить нельзя; это — константа, которую поэтому можно исключить из рассмотрения в задаче оптимального распределения наличных ресурсов: задачи 2
CjXj max и 2 сзхз — 2 &\z% max 3
з і
эквивалентны при ограничениях (5.39), (5.40). При оптимальном решении прямой и двойственной задач разность (5.47) равна нулю; о знаке (5.46) ничего сказать нельзя. Отметим, что если Сі в (5.38) интерпретируется как «общественная полезность продукта /» (см., например, [116]), измеренная в количественной шкале, то двойственные оценки не имеют размерности цены и тем самым отпадает вопрос об их интерпретации как цен.
Из всего сказанного выше не следует, что в рамках системы оптимального планирования нельзя построить оптимальные цены, соответствующие оптимальным объемам выпуска; мы здесь рассматриваем только связь между предельной полезностью и ценами на ресурсы.
Доказательство равенства цен на ресурсы их предельным полезностям в рамках модели оптимального распределения ресурсов (типа (5.38)—(5.40)) отсутствует, а анализ содержания этой задачи показывает, что цены на ресурсы в этой модели не определяются, так как ресурсы уже приобретены к моменту их распределения.Каков же экономический смысл двойственных оценок в задаче распределения ресурсов? Ответ на этот вопрос дает соотношение (5.45): при увеличении объема ресурса і на единицу значение целевой функции (5.38) (объема производства в принятых здесь обозначениях) вырастет на Уі единиц, прибыль при этом изменится на величину у і — zt. Если у і >2*, то целесообразно расширение производства за счет приобретения дополнительного количества ресурса максимально допустимая цена, которую можно уплатить за дополнительное количество ресурса і, не должна превышать yt. Если же yt < то целесообразно (с точки зрения максимизации дохода) продать некоторое количество ресурса і по цене, не меньшей чем yt.
Эти рассуждения часто выдают за обоснование тезиса, что двойственные оценки равны ценам в условиях чистой конкуренции ([116], [185], [197] и др.). Но модель (5.38)— (5.40) не содержит описания рынка, торгов и т. п. и не является описанием ситуации рыночного равновесия. Еще раз подчеркиваем: ресурсы bt уже имеются в наличии, и в модели (5.40) нет ни слова о возможности приобретения дополнительных объемов ресурсов. Анализ ситуации, когда объемы ресурсов не фиксированы (так же как и цены на конечную продукцию), можно провести только на базе изучения моделей более общего характера, чем модели распределения фиксированных объемов ресурсов. Здесь при определенных условиях имеет место равенство цен предельным производительностям, но это не означает, что цены определяются предельными производительностями (и тем более замыкающими затратами). Важнее значение для верной интерпретации соотношения между ценами и предельными производительностями имеет равенство (5.44), которое и при анализе моделей экономического равновесия часто интерпретируют как равенство оптимальной прибыли нулю.
Еще по теме 5.2. Предельная полезность и цены 5.2.1. Двойственные оценки в задачах математического программирования:
- • Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования • Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация • Математический аппарат • Геометрическая интерпретация задачи • Симплексный метод решения задачи 2.1. Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования
- 2 Математическая школа как интерпретация теории предельной полезности
- 32.Полезность блага: общая и предельная. Закон убывающей предельной полезности. Основы теории потребительского выбора (аксиомы потребительского поведения).
- Понятие общей и предельной полезности. Закон убывающей предельной полезности
- 6. Полезность: общая и предельная. Закон убывающей предельной полезности
- § 1. Теория предельной полезности • Понятие полезности и предельной полезности
- § 4. Закон убывающей предельной полезности. Измерение величины полезности
- 16. Взаимосвязь между предельной нормой замещения (MRS) и предельной полезностью (MU)
- 1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Функция полезности.
- 3.1. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач
- Полезность, предельная полезность продукта
- 5.2.3. Двойственные оценки и функции цен
- 2.2.Закон убывающей предельной полезности(первый закон Госсена). Полезность и цена.
- 10.2.6 Двойственная задача
- Теория предельной полезности.
- Тема 2-3. Спрос и теория предельной полезности
- Теория предельной полезности
- 53. Общая и предельная полезность
- Постоянство предельной полезности денег
- Общая и предельная полезность.