4.3. Идентификация экономико-математических моделей 4.3.1. Основные проблемы и методы идентификации
q = 5 [аК^ + (1 — a) ZTP] (4.32)
часто именуют просто моделью, хотя, строго говоря, (4.32) — это схема моделей, множество моделей, заданное параметрически. В конкретную модель (4.32) превращается, если указаны конкретные численные значения параметров а, |3, у, б, X. Например:
In q = In 0.97 - In (0.74ІГ0'58 + 0.26L"0'58) -
—- 0.02 (t — 11).
Обычно это не приводит к путанице, но в данном случае различие между моделью и схемой моделей (множеством моделей) существенно.
В общем случае, если Xt (і = 1 ~ п) переменные, а
5 с=П*і (4.33)
і
— система зависимостей между этими переменными (необязательно функциональная), то задача идентификации заключается в следующем. По эмпирическим данным, xtj ЕІ/ (/ = 1 ~ mi, rrii — мощность множества зарегистрированных значений переменной Хіч / — индекс зарегистрированного значения переменной Хг) требуется найти систему S е D (D — множество моделей, не обязательно заданное параметрически), такую, что
р(?, S) < р(5, S), SGD, (4.34)
где р(.,.) расстояние между моделями (метрика в D, либо математическое ожидание метрики в D). Обычно истинное значение S неизвестно 9 и условие (4.34) не- проверяемо. Поэтому первоначальная задача заменяется следующей (необязательно эквивалентной исходной): подобрать S такое, что
Р (? S*) < Р (S, S% 3 ЄЕ Se= D, (4.35)
где — множество п оценок зарегистрированных значений переменных Xt: причем здесь
Till — ш для всех і = 1 ~ п.
Таким образом, модель идентифицируется относительно конкретных эмпирических данных.
В этом отличие идентифицируемости от проверяемости.В некоторых случаях переменные удобно разделить на части: входные, выходные переменные и переменные состояния. Если выделены только входные и выходные переменные, то исследуемую систему (4.33) можно иногда представить в форме, которая в эконометрии называется приведенной 27: (4.36)
Y = АХ где Y — переменные, описывающие выход системы, X — переменные входа, А — оператор, преобразующий вход в выход.
Задача идентификации в этом случае заключается в поиске оператора, наилучшим образом связывающего наблюдаемый вход системы с ее наблюдаемым выходом. Частный случай, когда Y и X — функции от времени, подробно рассматривается в теории автоматического регулирования ([160], [218], [360], [479] и др.). Иногда идентификация понимается в этом узком смысле [370], [572]. Если оператор в (4.36) может быть представлен в виде простой функциональной зависимости, a Y и X — как множества вещественных чисел, получаем обычную модель (точнее, схему моделей) типа (4.32): (4.37)
. у = /(я, а), где а — параметры.
Если модель автономна, т. е. вход отсутствует, то получаем случай прямого измерения значения переменной
209
14 р. д. Раяцкас, М, К. Плакунов
У = /(а).
В эконометрии часто приходится иметь дело с моделями (схемами моделей) в структурной фэрме
Ф(г/, я, а) = О (4.38)
или
ф(х, а) = О,
если нельзя разделить переменные на входные и выходные.
С формальной точки зрения существуют большие различия между приведенными и структурными уравнениями, идентификация последних оказывается часто более сложной задачей, чем идентификация модели в приведенной форме [273], [446].
Рассмотрим простейший пример. Случайная ошибка отсутствует, множество моделей в приведенной формз задано параметрически:
у = а + причем D = {а, р|а > 0, |3 > 0}. (4.39)
Пусть зарегистрировано по одному значению переменных у и х: ух и х1 соответственно. Идентифицировать схему моделей (4.39) нельзя, так как черзз точку (yLl< хх) можно провести сколько угодно прямые, удэвлзтворяющих условию
Уі = а 4- §хг, сГ>0, Р >0.
Пусть для определенности ух > 0 и хх > 0.
Нужно по крайней мере два наблюдения, чтобы идентифицировать одну из этих прямых как соответствующую исходным данным. Допустим, что еще одно наблюдение сделано и в неотрицательном ортанте получена точка (г/2, х2).Тогда, решая систему уравнений
а + = уг а + = у2, можно вычислить а и |3: V2"?i а
уУ1
Если полученные аир принадлежат множеству D, т. е. если а ^ 0, [Г0, то модель (4.39) идентифицирована относительно эмпирических данных (ух, (у2, х2). В данном случае мы обходимся без проверки выполнения условий (4.34) или (4.35), поскольку рассматриваем строго детерминированную модель. В стохастическом случае (а именно он и имеет место на практике) надо задавать меру согласованности модели и эмпирических данных в явном виде, причем для различных мер в общем случае получаются различные* решения; задача выбора функции р(5\ S*) весьма нетривиальна. Мы остановимся на этой задаче позже, а пока вернемся к модели (4.39). Приведенный пример иллюстрирует то положение, что идентифицируемость существенно зависит от эмпирических данных. При некоторых наборах данных задача идентификации не имеет решения в том смысле, что решение задачи
р (S, ?*) min; S<=D, (4.40)
неединственно. Так, в нашем примере (при любой р (...), удовлетворяющей условиям метрики) при одном наблюдении решением этой задачи было множество D* = = {а, = а + а ^ 0, (Г^ 0}; D* a D (мы предполагали, что ух и хг неотрицательны). Следующее наблюдение еще более сужает первоначальное множество моделей D. Решением задачи (4.40) при двух наблюдениях оказалось множество, состоящее из одной точки:
= ос + j&Ci, і = 1, 2, а ^ 0, Р ^ 0}, т. е. при новом наборе данных задача идентификации решена. Если некоторая модель (схема моделей) неидентифици- руема при любых наборах данных, то она непроверяема и, как об этом уже говорилось ранее, должна быть отброшена. Например, модель
У = (Pi + (4.41)
D = {Pi> Р2 — вещественные числа}
неидентифицируема ни при каких эмпирических данных.
При любых S* множество решений задачи идентификации(4.40) будет иметь вид D* = рЖ + р2 ='Р*Ь где |3* — решение задачи (4.40) для модели
У =
если это решение существует.
Отметим, что существованию решения задачи (4.40) не всегда уделяется должное внимание. Между тем задача (4.40) может не иметь решения [35], [154]. Например, если в примере (4.39) хг > 0 и х2 > 0, но уг < 0 и у2 < 0, то множества В* и D** пусты. Другой пример: модель
у = еи\ X — вещественное число. Если y(t) < 0 при некоторых t, то эта модель неиденти- 14* 211 фицируема (относительно зарегистрированных значений переменных у и t). Например, если X ищется методом наименьших квадратов, то минимум
г
не существует:
Нт 2 (Уі - ехр (ЮГ = 2 УІ < 2 (Уі - ехр (и**))';
%->—оо І г г
м<> — оо.
Обычно множество моделей В строится так, что искомый минимум меры согласования модели и данных существует при любых наборах данных, хотя быть может решение задачи (4.40) и не единственно. Отсутствие решения задачи (4.40) — это признак грубой ошибки при построении схемы моделей В.
В идеальном случае множество моделей В задается экономической теорией. В случае конкурирования нескольких теорий идентификация в некоторой степени совпадает с проверкой теорий. Модель идентифицируется в объединенном множестве В = U Вх, т — индекс тео-
Л х
рии. Если оказывается, что S ф Вт, то такие теории оказываются фальсифицированными, но относительно набора данных S*. Последнее замечание существенно. Оно означает, например, что, если для какого-то набора данных об объеме выпуска, основных фондов и трудовых ресурсов функция Кобба— Дугласа оказывается неприемлемой, то это еще не означает, что функция Кобба — Дугласа неприемлема вообще, для любых производственно экономических систем. Альтернативой, а иногда и единственно возможным способом построения Z), является так называемый эмпирический подход: неизвестная зависимость между переменными представляется в виде следующего ряда:
У = /(*) = 2«іФі(*), (4.42)
і
где фі(х) — заданные функции, at — параметры модели.
Наиболее простое (но не всегда наиболее эффективное и не всегда возможное) представление такого вида — это разложение неизвестной зависимости в ряд Тейлора в
окрестности некоторой точки х0:
/(*)=/(*») +
По теореме Вейерштрасса любая аналитическая функция- заданная на компакте, может быть представлена в вид, степенного ряда.
Фактически при описании экономие ческих процессов приходится иметь дело именно с такими функциями; аппроксимизация неизвестных зависимостей полиномами довольно часто используется в экономико- статистических исследованиях.В более общем плане параметры at в (4.42) можно рассматривать как координаты функции в некотором абстрактном (обычно гильбертовом) пространстве. Задача идентификации, таким образом, становится эквивалентной задаче определения координат функции /(•) по регистрированным значениям переменных. Формально нет различия между представлением искомой зависимости в виде (4.42) и в замкнутой форме (типа (4.32), например). На практике, однако, это различие проявляется в различии количества параметров, подлежащих оцениванию. Например, в (4.32) всего 5 параметров, и можно их оценивать, если число наблюдений не меньше 7; если же эту функцию представить в виде (4.42), например, в виде степенного ряда, то количество параметров, подлежащих оцениванию, оказывается бесконечным (можно сделать это количество конечным, если наложить соответствующие априорные ограничения на параметры; но этих ограничений должно быть бесконечно много). Следовательно, при эмпирическом подходе приходится вместо бесконечного ряда (4.42) использовать только сумму нескольких первых его членов; появляется ошибка усечения е(х):
N
е(х) = f(x)—
г=1
Поскольку ошибка усечения е(х) зависит от х, ее нельзя рассматривать как систематическую и просто включить в модель. Если ряд (4.42) сходится медленно, то ошибка усечения может оказаться значительной. Таким образом, элиминирование теории оказывается непрактичным. Но сравнение теоретической модели с эмпирической вида (4.42) представляет большой интерес; поэтому нельзя не согласиться с Е. 3. Демиденко, считающим, что качество теоретической модели следует определять по результатам ее сравнения с эмпирической вида (4.42) [154].
Еще по теме 4.3. Идентификация экономико-математических моделей 4.3.1. Основные проблемы и методы идентификации:
- 8.4. Математика экономико-математические методы и модели; метод математического моделирования в экономике; основные количественные характеристики мокро- и микроэкономического анализа; основные абстрактные модели рыночной экономики; моделирование спроса и предложения
- 4.3.3. Проблемы идентификации модели межотраслевого баланса и матрицы Леонтьева
- 4.2. Регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний 4.2.1. Описание модели, параметрическая идентификации и ретроспективный прогноз Агенты модели
- 4.3. Регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия с теневым сектором 4.3.1. Описание модели, параметрическая идентификации и ретроспективный прогноз.
- 4.1. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики 4.1.1. Описание модели, параметрическая идентификация и ретроспективный прогноз
- 4.3.2. Сравнение, подгонка и идентификация моделей
- 13.1. Проблема идентификации объектов, составляющих материальные потоки и ее решение в логистике
- 1.3. Классификация экономико-математических методов и моделей
- 1.2. Метод исследования устойчивости и структурной устойчивости математических моделей экономической системы страны 1.2.1. Разработка методов оценок показателей устойчивости математических моделей.
- 11.3. Математические методы исследования экономики стратегические и математические методы оптимизации; теория игр; стохастические методы; экономические методы
- 14.3. Математические методы исследования экономики модели экономического равновесия; модели экономической динамики (магистральная теория)
- Идентификация