5.1.7. Методы построения функции полезности

г

дх. 1

— hcit = Bit, (5.31)

=Vit

где Ун —- фактически купленное потребителем количество товара і в момент наблюдения t, eit — случайные ошибки.

289

р. д. раяцкас, М. К. Плакунов

По теореме Вейерштрасса любую гладкую ограниченную в ограниченной области функцию можно представить в виде степенного ряда: и(х) = а0+ axlxx + а12х2... ... + а21ххх2 -г .... Практически надо, конечно, ограничиться конечным количеством членов этого степенного ряда, обеспечивающим достаточно хорошую аппрокси- мацию функции и(х). Например, можно выбрать представление функции полезности в виде квадратичной функции

и(х) = + (5.32)

і і j

Подстановка в (5.31) дает статистическую модель Яг + 2Ьиуи+ И — Xcit = Bit,

jri

в которой оцениваются параметры at, btj и Я.

В СССР впервые функция полезности для описания поведения потребителя была построена В. А. Волконским в 1963 г. [97]. Используя представление (5.32), он получил функцию полезности для средней семьи

и (х) = (1 — 1,84т) х1 + (1 — 2,05m) х2 + (1 — 2,12т) х3 +

+ 0,7-Ю"32^ + 1,2.10~4^2 + 1,2.10"4хЛ + 0,5-10~4Я2 +

+ 1}1Л0~\х3 + 0,5-10~4^зг

где т — количество детей в семье, х1 — потребление продуктов питания, х2 — потребление промышленных товаров, х3 — потребление платных услуг; все xt — в стоимостном выражении.

Разумеется, что любое монотонно возрастающее преобразование функции и(х) в (5.31) также будет функцией полезности, соответствующей эмпирическим данным у it у сц.

известны функции спроса

Х1 = /і(Сі, с2, d), = /г(С1> С2>

где с, — цена товара і, — величина спроса на товар і при цене С(, d — доход потребителей.

Функции спроса, как уже отмечалось ранее, однородны в нулевой степени, поэтому запишем их в виде зависимостей от относительных цен Лі = cjd:

Xi = /*(%> ліг ...), і = і ~ п. (5.33)

Если систему зависимостей (5.33) можно разрешить относительно ЯІ, то получаем

Jti = фг(*і» •••> •••)• С5-34)

Пусть, например, функции спроса равны

xt = aid!Сі = а^Лі, і = 1, 2.

Разрешая эту систему относительно получаем

ЛІ = & = 1, 2. (5.35)

Если потребитель выбирает наиболее полезный товар из доступных ему товаров, то имеет место система соотношений (5.31) (5.36)

1/1* я _

= ACjj = ЦЛ4, где р, = %/d.

Сравнивая (5.36) с (5.34), получаем систему уравнений

диідхі = ЛІ-[і = {іфі(агц ...).

В нашем простом примере имеем

(5.37)

2 = 0.

г

291

19»

диідхі = \xag/xi. На изокванте и(х) — const имеем

В нашем примере получаем a1dx1/x1 + a2dx2lx 2 = 0.

Интегрируя, получаем уравнение изокванты — кривой безразличия

а±In хг + а2In х2 = const, или

ха^хаъ = const.

1 А

Функцией полезности будет любая монотонно возрастающая функция н(-) от я"33, ха^

и{х) = ufel*! например,

и(х) = const • Д?^1 '%22 или

и (х) = const • "j/a"1 • И Т. Д.

В общем случае для интегрируемости уравнения (5.37) необходимо выполнение условий [279]:

Если на параметры функций спроса не накладываются специальные условия (выполнение которых, например, гарантирует отрицательную определенность матрицы Гессе функции полезности), то полученные результаты надо проверить на выполнение ряда обычных условий, которым удовлетворяют функции полезности.

Отметим одно важное обстоятельство.

В настоящее время вполне определенно установлено, что цели экономических агентов можно описывать на языке предпочтений, или на языке функции полезности, или на языке функции спроса — и описания на различных языках эквивалентны. Существенный вклад в разработку методов перевода описания целей с одного языка на другой внесла теория выявленного предпочтения П. Самуэльсона [185], [197], [415]. Допустим, что в рамках своего бюджетного ограничения

2 СцХі = d

і

потребитель может выбрать набор товаров х1 или набор товаров х2:

2 Cilxil ^ djl 2 cilxi2 ^ d.

і г

Допустим, что он выбрал набор хх. Тем самым потребитель выявил свое предпочтение набора товаров хх набору товаров х2.

Обозначим отношение выявленного предпочтения символом хг х2 обозначает, что набор товаров хг предпочитается набору товаров х2. Более точно отношение

задается следующим операциональным определением: Х1 х2-> если, и только если cYxx ^ сгх2. Можно ли отношение слабого упорядочения считать просто упорядочением )>? В общем случае отношение может оказаться и неантисимметричным и нетранзитивным.

Допустим, что цены изменились и равны теперь с2. При новых ценах потребитель выбирает набор х2, а не прежний свой набор хг. Здесь есть две возможнсти: 1) набор хг доступен потребителю и в ценах с2:

c2xi ^ d.

В этом случае можно сделать вывод, что у потребителя нет четкой системы предпочтений либо его предпочтения существенно изменились за то время, пока цены менялись от сг до с2. Возможно, что, вводя вероятности, частоты, какие-то другие переменные, удастся описать цели и поведение этого потребителя, но уже вне рамок теории выявленного предпочтения. Вторая возможность: набор хг не доступен потребителю при новых ценах с2:

с2хг >d.

293

20 Р.

Теперь отказ от набора хг можно объяснить не изменением или отсутствием предпочтений, а тем, что хх стал слишком дорог. С этим вторым случаем и имеет дело теория выявленного предпочтения. Антисимметричность отношения —>? формулируется слабой аксиомой выявленного предпочте- ния: если хг ->- х21 то х2 не выполняется, или, иными словами: из сххх ^ схх2 следует с2х2 <С с2х1. Оказалось, что для доказательства почти всех результатов теории спроса достаточно выполнения слабой аксиомы выявленного предпочтения. Важность этого результата трудно переоценить: отношение выявленного предпочтения действительно можно выявить, наблюдая за тем, что и по каким ценам покупают потребители; утверждение «хх

#2», таким образом, проверяемо. Однако для построения функции полезности слабой аксиомы выявленного предпочтения недостаточно. Условия интегрируемости выполняются, если выполняется сильная аксиома выявленного предпочтения: если хг х2 ->- ...хп, то для любых п неверно хп хг.

Ни слабая, ни сильная аксиомы выявленного предпочтения не запрещают исследовать и разрабатывать альтернативные методы описания поведения потребителя. Но если эти аксиомы выполняются (а их выполнение проверяемо), то они служат простым и эффективным правилом установления соответствия между сложными абстрактными моделями теории полезности и реально наблюдаемыми фактами покупки одних наборов товаров и оставлением на прилавках других наборов. Вопрос о приемлемости этих аксиом нельзя решать a priori; выполнение этих аксиом проверяется в каждом конкретном случае. Сомневаться же в безупречности логической схемы, казалось бы, не приходится.

Однако у В. В. Потапова читаем: «...Концепция выявленных предпочтений не претендует на оригинальное объяснение законов формирования и динамики потребительского спроса на капиталистическом рынке... ее тесная связь с теорией „полезности" предопределила эволюцию концепции: она пошла пе по пути сближения с действительностью, а по пути формализации, совершенствования математической техники анализа.

Сами посылки В. В. Потапова вызывают сомнение. Противоречит ли теория выявленного предпочтения какой-нибудь динамической теории потребительского спроса? В. В. Потапов не рассматривает такой вопрос. Но вряд ли найдется такая теория, потому что для того, чтобы разработать динамическую теорию спроса (а не написать только слова о ней), надо каким-то образом фиксировать, описывать, моделировать спрос в каждый момент времени. А именно на это и нацелена теория выявленного предпочтения.

В. В. Потапов допускает некоторые неточности, излагая теорию выявленного предпочтения. «Как можно заметить, Самуэльсон нигде не вводит функцию полезности и тем не менее приходит почти к тождественным результатам теории кривых безразличия. Это происходит по двум причинам (по одной — таково было намерение Самуэль- сона.— Авт.)». «Как можно было заметить, модель поведения потребителя в теории выявленных предпочтений является также двухтоварной моделью, как и в теории кривых безразличия» [355, с. 84]. На следующей странице В. В. Потапов пишет: «Эту проблему разрешил американский экономист X. Хаутэккер, доказав теорему транзитивности для любого числа товаров» [355, с. 85]. Далее читаем: «Ведь набор с большей стоимостью одновременно является и набором с большим количеством товаров».

г г

всех І.

Вообще, с «больше» — «меньше» разобраться трудно. Выясняя смысл формулы сгхг ^ сгх2, В. В. Потапов задает вопрос: «Почему более дешевые товары отвергаются? Потому что у Самуэльсона рост стоимости товаров и их ,,полезности ' происходит параллельно. Буржуазный экономист сохраняет старую предпосылку кардинализма: большее, а следовательно, стоящее дороже количество товара всегда предпочитается меньшему, а следовательно, более дешевому» [355, с. 83].

20*

295 Здесь все неверно. Во-первых, В. В. Потапов постоянно смешивает товар с набором товаров. В современной теории полезности (без кавычек) сравниваются не товарыА а наборы товаров. Во-вторых, из слОДУ~

і it * * ет все-таки, что хі>х\ для всех і. В более дорогом наборе товаров одного товараАможет быть больше, другого меньше, чем в дешевом. Неверно, что^Самуэльсон сохраняет предпосылки кардинализма: в теории выявленных предпочтений ничего не говорится о силе, интенсивности предпочтений. Неверно, что рост стоимости и полезности происходит параллельно. Они независимы. Один набор может быть предпочтен другому и при равной стоимости наборов.

Причин, по которым теория полезности имеет самостоятельное значение наряду с теорией спроса, по крайней мере четыре.

1. Торговая статистика оперирует данными реализованного спроса. Наблюдаемой величиной является не спрос, а объем продаж, который в условиях неравновесия может оказаться ниже спроса. 2. Наблюдаемой величиной является объем продажи уже имеющихся в торговле товаров. Желательно получить оценку величины спроса на товары, производство которых еще только проектируется; для этого надо как-то выявлять и описывать предпочтения потребителей. 3. Сравнение функций спроса, полученных прямыми методами и на основе теории полезности позволяет повышать точность и надежность моделей. 4. Теория полезности предназначена для описания более широкого круга явлений, чем теория спроса. Так, вне области пересечения этих теорий лежит целый ряд проблем принятия решенийА проблемы поиска разумных соглашений и т. п.