<<
>>

5.1.6. Общественная функция полезности и теорема Нэша

Утверждение, что в кооперативной игре существует равновесное решение, является своего рода контраналогом теоремы Эрроу о невозможности, так как если это утверждение справедливо, то обычно можно построить и функцию общественной полезности.
Основополагающей здесь служит теорема Дж. Нэша [87], [261], [324], [332], [388], [506].

Обозначим множество всех соглашений как А — {а, &, с...}. Элементы этого множества — это, например, различные распределения продукции (5.24) или же а = = {ах, . . ., ам) — это доли дохода, приходящиеся каждому индивиду и т. д. Индивидуальные полезности, как и раньше, определены на альтернативных соглашениях из а; если щ(а) у> и^Ь), то индивид предпочитает соглашение а соглашению 6. Каждому соглашению ЙЄІ сопоставляется вектор индивидуальных полезностей и(а) = = {иг(а), . . ., ит(а)}. Множество всех таких векторов, определенных для каждого соглашения из А, обозначим как S:

S = {и{а)\а є= А).

Обозначим через ut максимальный выигрыш, который индивид і может получить, действуя в одиночку, будем называть этот выигрыш предпосылкой. Предпосылке и = = {иъ . . ., ит} соответствует некоторая альтернатива из А, например а. (Для простоты считаем альтернативы, доставляющие одинаковые полезности, неразличимыми.) Предпосылке и может соответствовать, например, начальное распределение некоторого продукта, имеющегося в объеме X:

т _ _

а: = и(а)= К (я?), ит(х^)}.

і=1

Пусть индивиды пришли к некоторому другому соглаще- нйто, например b:

m

b: = u(b) = {uv

г=і

При переходе от соглашения а к соглашению Ъ происходит перераспределение продукта, а также, быть может, изменение его объема, например увеличение: Хь > Ха. Таким образом, предпосылка и может соответствовать вектору индивидуальных полезностей при status quo. Но это не обязательно. Возможна ситуация, в которой никто ничего не получает, если индивиды не сумели договориться о распределении благ.

Предпосылка — это максимально возможный выигрыш индивида і в том случае, когда он действует в одиночку, причем пе исключена возможность того, что все остальные играют против него. В общем случае этот выигрыш может оказаться и положением status quo и уничтожением и перераспределением всех ресурсов в СВОЮ пользу. Выяснение, каково Ui — это специальная и часто очень сложная задача, поиск решения которой ведется методами теории игр. Пусть, например, общество состоит из двух индивидов; у каждого есть набор чистых стратегий сг и с2 и смешанные стратегии ух и у2; исходы описываются платежными матрицами Bi и В2 — для первого и второго индивида соответственно. Имеем, таким образом, биматричную игру с матрицами Вх и В2. Самое большое, на что могут рассчитывать индивиды, действуя в одиночку, это предпосылки ut:

иг = max min УхВху'2\ Уг У 2

и2 = max min ухВ2у2, У 2 Уі

где у' обозначает транспонирование вектора у.

Приведем еще один простой пример, иллюстрирующий понятие предпосылки. Пусть двое рабочих работают в две смены на одном станке. Организация труда индивидуальная; существуют потери времени на пересмену. При такой организации труда месячная зарплата первого и второго рабочих равна хЇ и х2 соответственно, а суммарная зарплата равна ХИ = х" + х2. Допустим теперь, что эти рабочие объединились в бригаду нового типа: работают на один наряд, получают единое производственное задание. Если объединение в бригаду оказалось эффективным, то выросла производительность труда (в частности, в результате исчезновения потерь времени на пересменку) и соответственно выросла суммарная зарплата Х6 > Хи. Ситуация, соответствующая индивидуальной организации труда, и будет предпосылкой при решении задачи распределения зарплаты Х6: самое меньшее, на что следует соглашаться каждому рабочему,— это его зарплата при индивидуальной организации труда: х™. Полезность этого распределения и будет предпосылкой

и = (и^х"), и2{х\)).

Допустим теперь, что известны множество S и предпосылки и є S.

Задача заключается в поиске правила, которое каждой паре (S, и) ставило бы в соответствие некоторое соглашение, при котором индивиды получали бы полезность и*:

и* = F(S, и).

Если S непусто, то такое правило (в отличие от задачи агрегирования индивидуальных предпочтений) всегда существует: можно просто положить и* = и — каждый «остается при своих». Речь идет, конечно, о правиле, которое улучшило бы положение индивидов. В общем случае и таких правил может оказаться слишком много. Так, в примере с бригадой производственных рабочих любое распределение бригадой зарплаты Х6, такое, что

= Дх + Да^Хв-Хн, Дг>0

увеличит индивидуальные полезности рабочих (если, конечно, Х6 — ХИ >0).

Необходимо поэтому сформулировать условия, которым должно удовлетворять разумное правило заключения соглашения. Дж. Нэш сформулировал ряд таких условий; одни из них уточняют понятие разумности соглашения, другие являются гипотезами о функциях полезности.

Условие 1. Все индивидуальные полезности измерены в шкале интервалов, т. е. с точностью до начала отсчета a,i и масштаба (3,: преобразование полезности at щ

является допустимым.

Условие 2. Решение — действительное соглашение — не должно зависеть от допустимых преобразований шкал индивидуальных полезностей, т. е. от чисел a*, Р*. Пусть

S' получено ил с помощью допустимых преобразований:

S' = {и' | = а+ р{, (и19 ..i^jeSl.

Тогда, если u* = F(S, и), то условие 2 содержит требование, чтобы

F (і^а^ + рх, ..., атит + pm) = (G^MJ + Pi, ... + Рт).

Условие 3. Индивидуальная разумность: для всех і должно выполняться

U* ^

Условие 4. Допустимость: U* ЄЕ 5.

Условие 5. Оптимальность по Парето: в S не существует элемента и**, отличного от и*, такого, что щ ^ щ. Иными словами: после заключения соглашения никто не может улучшить свое положение, не ухудшив при этом положение остальных индивидов.

Условие 6 — независимость от внетппих альтернатив: пусть Z cz S. Тогда, если и* є Z и и* = F(SX и), должно выполняться u* = F(Z, и).

Иными словами, при добавлении новых альтернатив (соглашений) старая альтернатива не должна стать решением, если она не была им ранее, при условии, что предпосылки не изменились.

Хотя, так же как и в случае теоремы Эрроу, независимость несвязанных альтернатив не является законом природы, следует все же отметить различие содержания этого условия в формулировках теоремы Эрроу и теоремы Нэша.

В последнем случае в модели учитываются результаты отказа от достижения соглашения. Общество из несговорчивых индивидов наказывается тем, что получает только свои предпосылки.

Условие 7 — симметрия: при одинаковом положении в S индивиды должны получать одинаковые выигрыши.

Дж. Нэтп доказал теорему, которая действительно удивительна: существует единственная функция F, определенная для всех пар (S, и), удовлетворяющая уело виям 1 — 7; при этом решением и* = F(S, и) является со- глатеяйе, которое максимизирует функцию общественной полезности щ:

т

U0 = JJ (щ — Щ) При Щ > ДЛЯ всех І.

г=1

Вернемся к нашему примеру с производственной бригадой. Допустим, что функция полезности денег первого рабочего — это функция Г. Крамера [219, с. 1111:

ui = Ух1ч

а также любая функция вида ах Угх1 + Pi при ах > 0 и любых функция полезности второго рабочего линейна и определяется с точностью до констант а2 и р2 (а2 > 0):

и2 = х2 (или = а2х2 + р2).

Введем обозначения:

Д = Х6 — Хи — прирост суммарной зарплаты при переходе на бригадную организацию труда; zt — доля рабочего і в этом приросте; ж" — зарплата рабочего і при индивидуальной организации труда. Запишем функцию полезности Нэша

и0 = ага2 (У 4 + zxA — j/s?) + z2A - хи2). (5.29)

Решением, т. е. распределением приработка А, которое удовлетворяет условиям 1 — 7, будет вектор (zj, z2), максимизирующий (5.29) и удовлетворяющий условиям

Zl + z2 = 1, Zi > 0 для і = 1, 2. (5.30)

Перепишем (5.29) в виде

и0 = ага2 + ^г zi -

Ясно, что решение не зависит от произвольных постоянных GCf, Pf, в данном случае оно не зависит также от х2. Если отношение А/х™ невелико (чаще всего дело обстоит именно так и А/Хи < 0.05—0.15), то целевую функцию можно упростить. Имеем

откуда

Д

U0 ~ "JTZ1Z2- 1

Максимизация этой целевой функции при ограничениях (5.30) эквивалентна задаче: найти и z2, такие, что

и0 = zxz2 -> max, % + z2 = 1, zt ^ 0, ? = 1,2.

Сразу получаем, что = 1/2.

Значит, в первом приближении приработок А следует делить поровну, если дележ должен удовлетворять условиям 1—7. Сразу возникает вопрос: где же здесь личный трудовой вклад каждого рабочего? Личный трудовой вклад каждого рабочего — это предпосылки; приработок, величина которого должна зависеть от величины дополнительно производимой продукции,— это нелинейный эффект кооперации, эффект, который нельзя разложить на сумму индивидуальных эффектов. Попытки разложить этот нелинейный эффект заканчивается неудачей: теория вменения не работает не только на макроуровне, но и на микроуровне.

Можно несколько обобщить полученный результат. Функция Нэша для бригады из т рабочих имеет вид

т

"0-П (щ + AZ|) — Щ (д?)) i=1

или

«о = П ("і (і + - щ(*?)).

Это дает возможность записать задачу поиска распреде- Оценим отношения Д/я". Если Д = аХи, где а — процент прироста зарплаты при переходе на бригадную организацию труда, а хи — средняя зарплата при индивидуальной организации, то А = amxtt] полагая, что разброс зарплаты невелик, получаем A/xf « а т. Гост зарплаты на 100-f-150%, конечно, возможен, но все-таки эта ситуация встречается редко (и вызывает сомнения в напряженности норм и эффективности профориентации и расстановки рабочих). Реально в основном а ^ 0,1. Таким образом, если численность бригады не велика (а она должна быть ограничена сверху, так как неосвобожденный бригадир не имеет управленческого аппарата), то am <С 1. Допустим, что это так. Тогда ления зарплаты, удовлетворяющего условиям 1—7, в виде

т da. т д 171

Ц 4 П — = const.JJ-?max,

і=1 і г=1 ^ г=1

2 Z{ = 17 ^ ^ О при ? = 1, 771.

г

Отсюда следует, что в первом приближении, независимо от формы индивидуальных функций полезности, Z* = — 11т. Можно показать, что для конкретных индивидуальных функций полезности точка соглашения мало отличается от точки z* = 1/т.

Разумеется, теорему Нэша нельзя интерпретировать как гарантию существования функции общественной полезности. Выполнение условий 1—7 необходимо проверять в каждом конкретном случае.

Сильным является условие 1, по которому все индивиды способны измерить свои индивидуальные полезности в шкале интервалов. В этом, кстати, одно из существенных отличий условий теоремы Нэша от условий теоремы Эрроу. В последней предполагается, что полезность измеряется в порядковой шкале. Если считать способность формулировать свои предпочтения не только в порядковой, но и в количественной шкале признаком разумности, то в теореме Нэша фигурируют более разумные индивиды, чем в теореме Эрроу. Однако в общем случае такой высокой степени разумности для того, чтобы найти приемлемое решение, не требуется. В формулировках основных теорем экономического равновесия (например, в теореме Эрроу-Дебре, в модели В. JI. Макарова) предполагается только, что экономические агенты оценивают свои полезности в порядковой шкале.

Важный результат теории экономического равновесия — установление того факта, что при определенных условиях (например, при отсутствии монополии) оптимальные траектории роста совпадают с равновесными [29], [268], [317], [385]. Этим в значительной степени уменьшается острота проблемы построения единой целевой функции экономики: экономическая система, в которой права принятия решений не сконцентрированы у какой- то группы экономических агентов, а распределены между всеми участниками, способна развиваться оптимально.

Ясная и четкая формулировка условий, при которых существуют или не существуют функции полезности, 113- меряемые в определенных шкалах, является необходимой предпосылкой для построения функции полезности. Именно поэтому абстрактные аксиомы теории полезности (Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна, JI. Сэвиджа, К. Эрроу и др.) имеют непосредственно практическое значение. Противопоставление аксиоматических методов построения функции полезности прямым, эмпирическим, лишено смысла. Получить достаточно адекватную модель целей и поведения экономических агентов можно только на основе сопоставления результатов, получаемых различными путями. По-видимому, единственная область, где обосновано использование экспертных оценок,— это построение функции полезности, но только в том случае, когда эксперты оценивают свои, а не чьи-то, предпочтения. Методы построения функций полезности на основе опросов в настоящее время интенсивно разрабатываются [86], [97], [221], [263], [297], [405], [415], [417], [480]. Получен ряд интересных и имеющих практическую значимость результатов. Но в конечном счете о предпочтениях и целях надо судить не только и не столько по декларациям о намерениях, а по наблюдаемому поведению.

<< | >>
Источник: Р.Л. Раяцкас, М.К. Плакунов. Количественный АНАЛИЗ В ЭКОНОМИКЕ. 1987

Еще по теме 5.1.6. Общественная функция полезности и теорема Нэша:

  1. 5.1.5. Общественная функция полезности и теорема Эрроу
  2. Утилитаристская функция общественного благосостояния Нэша.
  3. 1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Функция полезности.
  4. 3.1. Общественный выбор. Теорема о невозможности.
  5. Товар, его стоимость (общественная ценность) и потребительная стоимость (общественная полезность)
  6. 5.1.7. Методы построения функции полезности
  7. Максимаксная функция общественного благосостояния (функция Ницше)
  8. Максимаксная функция общественного благосостояния (функция Ницше)
  9. Функции полезности, кривые безразличия
  10. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  11. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  12. 7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности
  13. Роулсианская функция общественного благосостояния (функция максимина)
  14. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  15. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  16. Методы формирования решений. Функции полезности
  17. Предпочтения на лотереях и их представимость линейной функцией полезности
  18. Функции общественного благосостояния
  19. Отношение предпочтения, функция полезности и бюджетное ограничение потребителя.
  20. Функции общественного благосостояния
- Информатика для экономистов - Антимонопольное право - Бухгалтерский учет и контроль - Бюджетна система України - Бюджетная система России - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики в России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инновации - Институциональная экономика - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Кризисная экономика - Лизинг - Логистика - Математические методы в экономике - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоговое право - Организация производства - Основы экономики - Политическая экономия - Региональная и национальная экономика - Страховое дело - Теория управления экономическими системами - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятия - Экономика природопользования - Экономика труда - Экономическая безопасность - Экономическая география - Экономическая демография - Экономическая статистика - Экономическая теория и история - Экономический анализ -