5.1.6. Общественная функция полезности и теорема Нэша
Обозначим множество всех соглашений как А — {а, &, с...}. Элементы этого множества — это, например, различные распределения продукции (5.24) или же а = = {ах, . . ., ам) — это доли дохода, приходящиеся каждому индивиду и т. д. Индивидуальные полезности, как и раньше, определены на альтернативных соглашениях из а; если щ(а) у> и^Ь), то индивид предпочитает соглашение а соглашению 6. Каждому соглашению ЙЄІ сопоставляется вектор индивидуальных полезностей и(а) = = {иг(а), . . ., ит(а)}. Множество всех таких векторов, определенных для каждого соглашения из А, обозначим как S:
S = {и{а)\а є= А).
Обозначим через ut максимальный выигрыш, который индивид і может получить, действуя в одиночку, будем называть этот выигрыш предпосылкой. Предпосылке и = = {иъ . . ., ит} соответствует некоторая альтернатива из А, например а. (Для простоты считаем альтернативы, доставляющие одинаковые полезности, неразличимыми.) Предпосылке и может соответствовать, например, начальное распределение некоторого продукта, имеющегося в объеме X:
т _ _
а: = и(а)= К (я?), ит(х^)}.
і=1
Пусть индивиды пришли к некоторому другому соглаще- нйто, например b:
m
b: = u(b) = {uv
г=і
При переходе от соглашения а к соглашению Ъ происходит перераспределение продукта, а также, быть может, изменение его объема, например увеличение: Хь > Ха. Таким образом, предпосылка и может соответствовать вектору индивидуальных полезностей при status quo. Но это не обязательно. Возможна ситуация, в которой никто ничего не получает, если индивиды не сумели договориться о распределении благ.
Предпосылка — это максимально возможный выигрыш индивида і в том случае, когда он действует в одиночку, причем пе исключена возможность того, что все остальные играют против него. В общем случае этот выигрыш может оказаться и положением status quo и уничтожением и перераспределением всех ресурсов в СВОЮ пользу. Выяснение, каково Ui — это специальная и часто очень сложная задача, поиск решения которой ведется методами теории игр. Пусть, например, общество состоит из двух индивидов; у каждого есть набор чистых стратегий сг и с2 и смешанные стратегии ух и у2; исходы описываются платежными матрицами Bi и В2 — для первого и второго индивида соответственно. Имеем, таким образом, биматричную игру с матрицами Вх и В2. Самое большое, на что могут рассчитывать индивиды, действуя в одиночку, это предпосылки ut:иг = max min УхВху'2\ Уг У 2
и2 = max min ухВ2у2, У 2 Уі
где у' обозначает транспонирование вектора у.
Приведем еще один простой пример, иллюстрирующий понятие предпосылки. Пусть двое рабочих работают в две смены на одном станке. Организация труда индивидуальная; существуют потери времени на пересмену. При такой организации труда месячная зарплата первого и второго рабочих равна хЇ и х2 соответственно, а суммарная зарплата равна ХИ = х" + х2. Допустим теперь, что эти рабочие объединились в бригаду нового типа: работают на один наряд, получают единое производственное задание. Если объединение в бригаду оказалось эффективным, то выросла производительность труда (в частности, в результате исчезновения потерь времени на пересменку) и соответственно выросла суммарная зарплата Х6 > Хи. Ситуация, соответствующая индивидуальной организации труда, и будет предпосылкой при решении задачи распределения зарплаты Х6: самое меньшее, на что следует соглашаться каждому рабочему,— это его зарплата при индивидуальной организации труда: х™. Полезность этого распределения и будет предпосылкой
и = (и^х"), и2{х\)).
Допустим теперь, что известны множество S и предпосылки и є S.
Задача заключается в поиске правила, которое каждой паре (S, и) ставило бы в соответствие некоторое соглашение, при котором индивиды получали бы полезность и*:и* = F(S, и).
Если S непусто, то такое правило (в отличие от задачи агрегирования индивидуальных предпочтений) всегда существует: можно просто положить и* = и — каждый «остается при своих». Речь идет, конечно, о правиле, которое улучшило бы положение индивидов. В общем случае и таких правил может оказаться слишком много. Так, в примере с бригадой производственных рабочих любое распределение бригадой зарплаты Х6, такое, что
= Дх + Да^Хв-Хн, Дг>0
увеличит индивидуальные полезности рабочих (если, конечно, Х6 — ХИ >0).
Необходимо поэтому сформулировать условия, которым должно удовлетворять разумное правило заключения соглашения. Дж. Нэш сформулировал ряд таких условий; одни из них уточняют понятие разумности соглашения, другие являются гипотезами о функциях полезности.
Условие 1. Все индивидуальные полезности измерены в шкале интервалов, т. е. с точностью до начала отсчета a,i и масштаба (3,: преобразование полезности at щ
является допустимым.
Условие 2. Решение — действительное соглашение — не должно зависеть от допустимых преобразований шкал индивидуальных полезностей, т. е. от чисел a*, Р*. Пусть
S' получено ил с помощью допустимых преобразований:
S' = {и' | = а+ р{, (и19 ..i^jeSl.
Тогда, если u* = F(S, и), то условие 2 содержит требование, чтобы
F (і^а^ + рх, ..., атит + pm) = (G^MJ + Pi, ... + Рт).
Условие 3. Индивидуальная разумность: для всех і должно выполняться
U* ^
Условие 4. Допустимость: U* ЄЕ 5.
Условие 5. Оптимальность по Парето: в S не существует элемента и**, отличного от и*, такого, что щ ^ щ. Иными словами: после заключения соглашения никто не может улучшить свое положение, не ухудшив при этом положение остальных индивидов.
Условие 6 — независимость от внетппих альтернатив: пусть Z cz S. Тогда, если и* є Z и и* = F(SX и), должно выполняться u* = F(Z, и).
Иными словами, при добавлении новых альтернатив (соглашений) старая альтернатива не должна стать решением, если она не была им ранее, при условии, что предпосылки не изменились.
Хотя, так же как и в случае теоремы Эрроу, независимость несвязанных альтернатив не является законом природы, следует все же отметить различие содержания этого условия в формулировках теоремы Эрроу и теоремы Нэша.
В последнем случае в модели учитываются результаты отказа от достижения соглашения. Общество из несговорчивых индивидов наказывается тем, что получает только свои предпосылки.Условие 7 — симметрия: при одинаковом положении в S индивиды должны получать одинаковые выигрыши.
Дж. Нэтп доказал теорему, которая действительно удивительна: существует единственная функция F, определенная для всех пар (S, и), удовлетворяющая уело виям 1 — 7; при этом решением и* = F(S, и) является со- глатеяйе, которое максимизирует функцию общественной полезности щ:
т
U0 = JJ (щ — Щ) При Щ > ДЛЯ всех І.
г=1
Вернемся к нашему примеру с производственной бригадой. Допустим, что функция полезности денег первого рабочего — это функция Г. Крамера [219, с. 1111:
ui = Ух1ч
а также любая функция вида ах Угх1 + Pi при ах > 0 и любых функция полезности второго рабочего линейна и определяется с точностью до констант а2 и р2 (а2 > 0):
и2 = х2 (или = а2х2 + р2).
Введем обозначения:
Д = Х6 — Хи — прирост суммарной зарплаты при переходе на бригадную организацию труда; zt — доля рабочего і в этом приросте; ж" — зарплата рабочего і при индивидуальной организации труда. Запишем функцию полезности Нэша
и0 = ага2 (У 4 + zxA — j/s?) + z2A - хи2). (5.29)
Решением, т. е. распределением приработка А, которое удовлетворяет условиям 1 — 7, будет вектор (zj, z2), максимизирующий (5.29) и удовлетворяющий условиям
Zl + z2 = 1, Zi > 0 для і = 1, 2. (5.30)
Перепишем (5.29) в виде
и0 = ага2 + ^г zi -
Ясно, что решение не зависит от произвольных постоянных GCf, Pf, в данном случае оно не зависит также от х2. Если отношение А/х™ невелико (чаще всего дело обстоит именно так и А/Хи < 0.05—0.15), то целевую функцию можно упростить. Имеем
откуда
Д
U0 ~ "JTZ1Z2- 1
Максимизация этой целевой функции при ограничениях (5.30) эквивалентна задаче: найти и z2, такие, что
и0 = zxz2 -> max, % + z2 = 1, zt ^ 0, ? = 1,2.
Сразу получаем, что = 1/2.
Значит, в первом приближении приработок А следует делить поровну, если дележ должен удовлетворять условиям 1—7. Сразу возникает вопрос: где же здесь личный трудовой вклад каждого рабочего? Личный трудовой вклад каждого рабочего — это предпосылки; приработок, величина которого должна зависеть от величины дополнительно производимой продукции,— это нелинейный эффект кооперации, эффект, который нельзя разложить на сумму индивидуальных эффектов. Попытки разложить этот нелинейный эффект заканчивается неудачей: теория вменения не работает не только на макроуровне, но и на микроуровне.Можно несколько обобщить полученный результат. Функция Нэша для бригады из т рабочих имеет вид
т
"0-П (щ + AZ|) — Щ (д?)) i=1
или
«о = П ("і (і + - щ(*?)).
Это дает возможность записать задачу поиска распреде- Оценим отношения Д/я". Если Д = аХи, где а — процент прироста зарплаты при переходе на бригадную организацию труда, а хи — средняя зарплата при индивидуальной организации, то А = amxtt] полагая, что разброс зарплаты невелик, получаем A/xf « а т. Гост зарплаты на 100-f-150%, конечно, возможен, но все-таки эта ситуация встречается редко (и вызывает сомнения в напряженности норм и эффективности профориентации и расстановки рабочих). Реально в основном а ^ 0,1. Таким образом, если численность бригады не велика (а она должна быть ограничена сверху, так как неосвобожденный бригадир не имеет управленческого аппарата), то am <С 1. Допустим, что это так. Тогда ления зарплаты, удовлетворяющего условиям 1—7, в виде
т da. т д 171
Ц 4 П — = const.JJ-?max,
і=1 і г=1 ^ г=1
2 Z{ = 17 ^ ^ О при ? = 1, 771.
г
Отсюда следует, что в первом приближении, независимо от формы индивидуальных функций полезности, Z* = — 11т. Можно показать, что для конкретных индивидуальных функций полезности точка соглашения мало отличается от точки z* = 1/т.
Разумеется, теорему Нэша нельзя интерпретировать как гарантию существования функции общественной полезности. Выполнение условий 1—7 необходимо проверять в каждом конкретном случае.
Сильным является условие 1, по которому все индивиды способны измерить свои индивидуальные полезности в шкале интервалов. В этом, кстати, одно из существенных отличий условий теоремы Нэша от условий теоремы Эрроу. В последней предполагается, что полезность измеряется в порядковой шкале. Если считать способность формулировать свои предпочтения не только в порядковой, но и в количественной шкале признаком разумности, то в теореме Нэша фигурируют более разумные индивиды, чем в теореме Эрроу. Однако в общем случае такой высокой степени разумности для того, чтобы найти приемлемое решение, не требуется. В формулировках основных теорем экономического равновесия (например, в теореме Эрроу-Дебре, в модели В. JI. Макарова) предполагается только, что экономические агенты оценивают свои полезности в порядковой шкале.Важный результат теории экономического равновесия — установление того факта, что при определенных условиях (например, при отсутствии монополии) оптимальные траектории роста совпадают с равновесными [29], [268], [317], [385]. Этим в значительной степени уменьшается острота проблемы построения единой целевой функции экономики: экономическая система, в которой права принятия решений не сконцентрированы у какой- то группы экономических агентов, а распределены между всеми участниками, способна развиваться оптимально.
Ясная и четкая формулировка условий, при которых существуют или не существуют функции полезности, 113- меряемые в определенных шкалах, является необходимой предпосылкой для построения функции полезности. Именно поэтому абстрактные аксиомы теории полезности (Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна, JI. Сэвиджа, К. Эрроу и др.) имеют непосредственно практическое значение. Противопоставление аксиоматических методов построения функции полезности прямым, эмпирическим, лишено смысла. Получить достаточно адекватную модель целей и поведения экономических агентов можно только на основе сопоставления результатов, получаемых различными путями. По-видимому, единственная область, где обосновано использование экспертных оценок,— это построение функции полезности, но только в том случае, когда эксперты оценивают свои, а не чьи-то, предпочтения. Методы построения функций полезности на основе опросов в настоящее время интенсивно разрабатываются [86], [97], [221], [263], [297], [405], [415], [417], [480]. Получен ряд интересных и имеющих практическую значимость результатов. Но в конечном счете о предпочтениях и целях надо судить не только и не столько по декларациям о намерениях, а по наблюдаемому поведению.
Еще по теме 5.1.6. Общественная функция полезности и теорема Нэша:
- 5.1.5. Общественная функция полезности и теорема Эрроу
- Утилитаристская функция общественного благосостояния Нэша.
- 1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Функция полезности.
- 3.1. Общественный выбор. Теорема о невозможности.
- Товар, его стоимость (общественная ценность) и потребительная стоимость (общественная полезность)
- 5.1.7. Методы построения функции полезности
- Максимаксная функция общественного благосостояния (функция Ницше)
- Максимаксная функция общественного благосостояния (функция Ницше)
- Функции полезности, кривые безразличия
- 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
- 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
- 7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности
- Роулсианская функция общественного благосостояния (функция максимина)
- 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
- 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
- Методы формирования решений. Функции полезности
- Предпочтения на лотереях и их представимость линейной функцией полезности
- Функции общественного благосостояния
- Отношение предпочтения, функция полезности и бюджетное ограничение потребителя.
- Функции общественного благосостояния