§3. Философское обобщение математики как основа ее изучения

Энгельс высоко ценил вклад Маркса в математику и считал его «основательным знатоком» в этой области[412]). Выше уже была дана оценка математических занятий Маркса. Сейчас предстоит дать некоторые пояснения в отношении самого Энгельса.

Уже в 1857 г. Энгельс в статье «Артиллерия» проследил параллели в развитии военного дела и его научного, и в частности математического, обоснования. Он писал: «Галилей положил начало теории параболы, его ученик Торричелли, Андерсон, Ньютон, Блондель, Бернулли, Вольф и Эйлер занимались дальнейшим изучением полета снарядов, сопротивления воздуха и причины отталкивания снарядов. Вышеназванные артиллеристы-экспериментаторы также внесли существенный вклад в развитие математической стороны артиллерийского дела»[413]).

В другой статье «Пехота», написанной в 1859 г., Энгельс вновь подчеркивал важность математических расчетов как способа усовершенствования оружия[414]). Современное ему автоматическое оружие, как утверждал в дальнейшем Энгельс, в значительной степени зависит от математической точности его наладки[415]). Энгельс обращал внимание на необходимость математической подготовки офицеров, от которых требуются «научные познания, теоретическое знание артиллерийского дела... фортификации, математики и механики»[416]).

О непосредственных занятиях Энгельса математикой известно следующее. Описывая их, резюмируем уже изложенные выше сведения. В мае 1864 г. Энгельс получил от Маркса книгу Франкера и занялся арифметикой. О его понимании существа дела свидетельствовали замечания в письме к Марксу о том, что тот не исправил имевшиеся в книге опечатки. Кроме этого, Энгельс писал: «Отдельные места весьма изящны, практическая же часть арифметики, напротив, постыдно плоха и поверхностно разработана; в любой из немецких школ можно встретить лучшую разработку. Сомневаюсь также, практично ли даже в элементарной форме излагать такие вещи, как корни, степени, ряды, логарифмы и т.д., при помощи одних только чисел (совершенно не прибегая к алгебре...)»[417]).

Таким образом, можно заключить, что побудительным мотивом занятий Энгельса математикой в 60-е гг. была в значительной степени возможность ее практического применения. Об этом свидетельствовало, в первую очередь, признание Энгельсом роли математики в военном деле.

В этом, на наш взгляд, заключалось отличие его подхода от аналогичного Маркса. О дальнейшем интересе Энгельса к проблемам математики свидетельствовал уже упомянутый в данной работе факт, что он обратился к Марксу с просьбой объяснить ему сущность дифференциального исчисления. В ответ на это последовало приложение к письму Маркса, где тот на основе задачи о касательной дал объяснение основных понятий данной области математики.

Затем, с изменением плоскости теоретических интересов Энгельса, появился и другой отличительный момент. Им было то, что Энгельс попытался с философской точки зрения истолковать математические проблемы, исходя при этом из гегелевской трактовки математики. Интерес представляет оценка Энгельсом познаний Гегеля в этой области. «Гегель знал математику настолько, что никто из его учеников не был в состоянии издать оставшиеся после него многочисленные математические рукописи. Единственный человек, знающий, насколько мне известно, достаточно математику и философию для того, чтобы это сделать, — это Маркс», — писал Энгельс в письме к Ланге от 10 апреля 1865 г.[418])

В 1881 г. Энгельс получил от Маркса несколько писем, в которых Маркс изложил свое видение основ дифференциального исчисления, понятий производной функции и дифференциала. Энгельс изучил их, не прибегая к дополнительной литературе. Это было связано не только с ясностью изложения Маркса, но и с тем, что к данному времени сам Энгельс имел возможность самостоятельно познакомиться с предметом. И в этом известную роль сыграл Самюэль Мур. Переписка Энгельса с ним подтверждала, что Энгельс не раз пользовался консультациями Мура по естественно-научным проблемам.

Одно из писем Мура Энгельсу датировано 2 июня 1875 г.

В следующем письме, а именно в послании от 3 июня 1879 г., Мур привел вывод формулы (s) + (3y)(s*) = основываясь на книге Исаака Тодхантера «Трактат по дифференциальному исчислению» (4-е изд. Кембридж, 1865). Мур замечал, что он не уверен в том, что данное доказательство окажется яснее, чем приведенное в книге Франкера «Трактат по арифметике» (Брюссель, 1837)[420]). Становится ясным, что изучение Энгельсом последней книги продолжалось длительное время и было весьма основательным.

Не будет преувеличением сказать, что занятия Энгельса математикой в рассматриваемый период времени были обусловлены работой над «Диалектикой природы», однако они были ему необходимы не только в связи с рассуждениями о математике в этой работе, но также и при изучении естествознания в целом, в котором математический аппарат играл все более существенную роль. Несмотря на то, что в «Диалектике природы» значительная часть рассуждений была посвящена природе математического знания, Энгельс упоминал лишь одну-единственную работу по математике, а именно книгу Ш. Боссю «Трактат по дифференциальному и интегральному исчислениям» (Париж, 1793). Обращение к работе, написанной практически около века назад, было связано, по всей видимости, с тем, что именно данную работу использовал в своих рассуждениях Гегель.

Данная работа приводилась Энгельсом в подтверждение его рассуждений о применении дифференциального исчисления в геометрии и была тематически связана с аналогичным упоминанием работы Г. Видемана о гальванизме[421]). Кроме того, в подготовительных работах к «Анти-Дюрингу» Энгельс сделал две взаимосвязанные выписки из Гегеля и Боссю: «„Ничто" чего-либо положительного, — говорит Гегель, — есть некое определенное ничто. Дифференциалы могут быть рассматриваемы как настоящие нули, и с ними можно оперировать как с настоящими нулями, между которыми, однако, существует определенное отношение, вытекающее из состояния рассматриваемого именно в данном случае вопроса.

Помимо философского осмысления этого математического понятия данные выписки интересны и тем, что они имели непосредственное отношение к рассуждениям Маркса о дроби jj в его математических рукописях. Не вызывает поэтому удивления то, что Энгельс с таким энтузиазмом воспринял данные рукописи, которые отвечали его собственным размышлениям.

Чтобы подтвердить это, необходимо обратиться к конкретному содержанию замечаний Энгельса по поводу математики, высказанных им в «Анти-Дюринге» и в «Диалектике природы». Здесь Энгельс рассмотрел целый ряд философских проблем математики, касавшихся прежде всего проявления диалектических законов в области математического знания. В частности, Энгельс высказал утверждение, что элементарная математика функционирует по законам формальной логики, в то время как дифференциальное исчисление (математика переменных величин) — по законам логики диалектической. «Почти все доказательства высшей математики, начиная с первых доказательств дифференциального исчисления, являются, с точки зрения элементарной математики, строго говоря неверными»[423]). Данное утверждение на многие десятилетия вперед определило такую ситуацию в отношениях между философами и логиками, когда они были вынуждены выяснять отношения своих предметных областей.

В «Диалектике природы», уже начиная с «Наброска общего плана», математика заняла существенное место как элемент иерархии наук. Энгельс сформулировал определение математики и ряда ее понятий: четырех действий элементарной математики и производных от них, понятия математической аксиомы. При этом Энгельс считал ее доказуемой диалектическим путем. Энгельс рассуждал по поводу соотношения дроби и бесконечности, аналитической геометрии, логарифмов, разложения бинома, качественного и количественного аспектов математического знания. Нетрудно заметить, что Энгельс шел к пониманию математики от Гегеля, хотя и с существенно иным пониманием соотношения идеального и материального.

Характерным для Энгельса подходом к научному знанию был историзм, попытка целостного освещения путей его развития. Это проявилось и в суждениях о математике. «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем»[426]). В отличие от Маркса Энгельс подчеркивал преимущественную роль Лейбница по сравнению с Ньютоном в создании нового раздела математики: «Лейбниц — основатель математики бесконечного, по сравнению с которым индуктивный осел Ньютон является испортившим дело плагиатором»[427]). Не оценивая правомерность такого суждения, можно задуматься над источником информации Энгельса. В качестве одного из таких источников могла служить уже упомянутая книга Боссю, в которой был дан обширный исторический очерк дифференциального и интегрального исчислений.

Следующей крупной проблемой, связанной с математическими занятиями Энгельса, была проблема взаимоотношения математики и диалектики.

Особый интерес представляло и другое замечание Энгельса по поводу соотношения конкретно-научных методов и диалектики. Энгельс в этой связи писал о их «оборотах»[430]). Это скупое замечание позволяет все же понять, что направление размышлений Энгельса по этому вопросу было сходно с соответствующими разработками Маркса, обдумывавшего в это время понятие оборачивания метода, как одну из обобщающих проблем диалектического метода.

В рукописном наследии Энгельса имелись заметки по дифференциальному исчислению, характеризовавшие определенный уровень владения материалом, а также подтверждавшие его интерес к данной проблематике. Заметки не были датированы, и данная датировка не может быть дана с высокой степенью достоверности. Предметом указанных заметок является дифференцирование степенной функции (у — ах2). Подставляя в данную функцию разные значения аргумента, Энгельс находил производную, иначе говоря, на частных примерах подтверждал общее правило нахождения производной. Исходя из этого, можно утверждать, что данные заметки носили характер упражнений в дифференцировании функций. Мимоходом Энгельс касался и конечных разностей. Повторения, описки, ошибки говорят о сугубо вспомогательно-черновом характере этих записей. Среди 12 страниц заметок Энгельса встречались записи, сделанные, по-видимому, чужой рукой, а кроме того, здесь имели место замечания Энгельса, не относившиеся к предмету изучения, в частности, о Прудоне.