<<
>>

§ 2. Актуальность исследований Маркса в области математики

Занятия Маркса математикой в целом и дифференциальным исчислением, в частности, приходились на период с конца 50-х гг. до начала 80-х гг. XIX в. Понять их можно, принимая во внимание исследования в математике того времени, на фоне которых протекали данные занятия.

Это позволит ответить на вопрос об актуальности его исследований, о их соответствии задачам времени, а также более точно оценить проблематику рукописей Маркса и то новое, что он внес в понимание рассматриваемых вопросов. Поэтому представляется целесообразным с самого начала дать краткий очерк тех драматических процессов в области дифференциального исчисления, которые привлекли внимание Маркса и постоянно находились в центре его научных интересов.

История дифференциального исчисления восходит ко второй половине XVII в., к работам Ньютона и Лейбница. С весны по осень 1665 г.

И. Ньютон разработал принципы анализа бесконечно малых величин (флюксий). Его метод опирался на разложение функции в степенной ряд и давал понятие дифференцирования. Кроме того, исследования позволяли определить интегрирование как функцию, обратную дифференцированию, и доказать взаимообусловленный характер дифференциального и интегрального исчислений.

Уверенность в возможности разложения любой функции в степенной ряд служила для Ньютона основанием считать дифференциальное исчисление универсальным. Результаты исследований были сформулированы им в работе «Анализ с помощью уравнений» (1669 г.). Специфическую символику исчисления Ньютон стал употреблять с конца 1691 г.

13)

Этим же проблемам был посвящен труд Ньютона «Метод флюксий и бесконечных рядов», написанный в 1670-1671 гг., но увидевший свет лишь позже — в 1736 г.

Независимо от Ньютона, но десятью годами позже к аналогичному открытию пришел Лейбниц. К осени 1675 г. он разработал принципы и символику дифференциального и интегрального исчислений, которые были опубликованы в работе «Methode tangentium universae...» (11 ноября 1675 г.).

Результаты исследований Лейбница в новой области математического знания были обнародованы в 1684 г., когда аналогичные разработки Ньютона оставались еще в рукописи. Знакомство Ньютона и Лейбница друг с другом, переписка, в которой они состояли, дали Ньютону повод усомниться в самостоятельности открытия Лейбница, что привело в конечном итоге к их длительной размолвке.

Наряду с методом флюксий Ньютон развивал исчисление конечных разностей, т. е. исчисление конечных приращений аргументов и функций, алгоритм вычисления которых аналогичен алгоритму дифференцирования[249]). В этой области находились и работы Тейлора (1685-1731), в частности его труд «Прямой и обратный метод приращений», опубликованный в 1715 г. Имя Тейлора обычно связывается с рядом Тейлора, с теоремой его имени о разложении функции в степенной ряд[250]). Характерно, что ряд Тейлора приводится в настоящее время в обозначениях, сформулированных французским математиком Лагранжем[251]). В 1742 г. К. Маклорен сформулировал теорему о разложении функции с неопределенными коэффициентами в ряд и нашел их. Результат стал известен как теорема Маклорена.

Возникновение нового направления в математике, которое было с самого начала связано с вычислениями в области механики, вначале не было подкреплено философскими основаниями. Это вызвало справедливые нарекания в адрес дифференциального исчисления. Беркли в ряде работ, и в частности в «Трактате о принципах человеческого знания», обращенном к Галею, упрекал создателей исчисления в туманности исходных понятий[252]).

Обоснование анализа бесконечно малых величин велось практически параллельно с разработкой его основных теорем. Маклорен сформулировал метод исчерпывания, в разработке которого опирался на сенсуалистическую методологию Локка, основными принципом которой было требование нахождения в опыте всех аналогов для математических понятий. Защите учения Ньютона от Беркли Маклорен посвятил «Трактат о флюксиях», вышедший в свет в 1742 г. Его дело поддержал Д.

Ланден в работе «Метод остатков» (1764 г.)[253]). Здесь Ланден избегал трудности исчисления бесконечно малых величин путем переименования переменных.

Обоснование дифференциального исчисления было продолжено Л. Эйлером (1707-1783), который исходил из отождествления с нулем бесконечно малых величин. Принципы данного исчисления, названного им исчислением нулей, он изложил в работе «Дифференциальное исчисление». Эйлер считал допустимым оперирование с нулями как с обыкновенными натуральными числами, вплоть до деления на нуль[254]). В дифференциальном исчислении выражение по мнению Эйлера, не являлось неопределенностью, но чтобы избежать путаницы это выражение заменялось на ^. Сам Эйлер не всегда придерживался данного допущения. Кроме того, оно не нашло большой поддержки среди математиков. В ряде статей в знаменитой «Энциклопедии» французский математик Д’Аламбер (1717-1783) предложил свое обоснование дифференциального анализа, введя понятие предела.

Попытки обоснования дифференциального исчисления были продолжены Лагранжем (1736-1813). Именно Лагранж поставил перед собой цель изложить его без использования понятия бесконечно малой величины, а также без понятий предела и производных функций. Для этого он сформулировал теорию аналитических функций, задачей которой было решение главных задач анализа. Со времени Ньютона до второй половины XVIII в. функции вводились для облегчения оперирования со степенными

рядами. При этом считалось, что любое аналитическое выражение можно разложить в ряд. Эту концепцию развивали Тейлор, Маклорен, Лагранж.

Лагранж пытался доказать то, что молча принимали предшественники, а именно, что получавшийся в результате разложения ряд содержит только целые и положительные приращения аргумента. Исходным для Лагранжа был ряд Тейлора. Лагранж доказывал, что произвольная функция может быть разложена в ряд алгебраическим путем. Работы Лагранжа позволили отбросить геометрический подход Ньютона к обоснованию исчисления. Однако при всем прогрессе такого подхода его неудовлетворительность состояла в том, что Лагранж не учитывал сходимости рядов.

Лагранж был одним из тех математиков, которые связали математику XVIII и XIX вв. Не претендуя на полноту и глубину анализа этой обширной области знания, назовем лишь несколько имен, определивших развитие математики XIX в., на фоне которых протекали изыскания Маркса. Принципиальную роль здесь сыграли работы французского математика Коши (1789-1857), который, как считается, дал то основание анализа, которое сейчас является общепринятым. В своих выкладках Коши опирался на исследования Лагранжа, используя его обозначения, результаты теории вещественных функций, однако, не заимствуя его алгебраического обоснования дифференциального исчисления. Упоминание о предпосылках исследований Коши, который к тому же был современником Маркса, тем более важно, что Маркс также весьма широко опирался на результаты, представленные Лагранжем. Однако в отличие от Коши Маркс, увлеченный преимущественно методом дифференциального исчисления, прибегал как раз к методу Лагранжа, как основе своих собственных выкладок.

Однако развитие математики XIX в. отнюдь не сводились к проблемам дифференциального исчисления. В трудах Э. Галуа (1811-1832) и уже упомянутого Коши были развиты идеи Лагранжа и Руффини (1765-1822) в области теории групп. Абель (1802-1829) разрабатывал проблемы интегрирования алгебраических функций. Исследования К. Г. Якоби и У. Р. Гамильтона были посвящены математическим аспектам динамики. А работы Дирихле (1805-1859) того времени являются существенным вкладом в теорию чисел.

На 50-е гг. приходились и исследования Римана (1826-1866) по теории комплексного переменного и линейным дифференциальным уравнениям с алгебраическими переменными. Разработка Риманом проблем топологии находилась в тесной связи с его работами в области теории функций комплексного переменного. В той же области лежали и исследования К. Вейерштрасса (1815-1897). Труды же Кронекера (1823-1891) 70-80-х гг. заложили основание такому направлению в обосновании математики, как интуиционизм. Проблемам обоснования математики были посвящены и работы Г.

Кантора (1845-1918). Следует назвать также исследования в области геометрии Больяи (1755-1856) и Лобачевского (1792-1856).

Несколько особняком стояла английская школа математики. В 1812 г. кембриджские математики под руководством Р. Вудхауза стали пропагандировать достижения континентальной науки, обособленное развитие которой от соответствующих исследований в Англии было связано с принципиальными разногласиями по вопросу о приоритете в открытии дифференциального исчисления. В 1818 г. на английском языке был издан труд французского математика Лакруа «Элементарный трактат...»[255]). Основными направлениями исследований английских математиков стала алгебра и ее применение к геометрии.

В работах У. Р. Гамильтона (1805-1865) было дано строгое построение алгебры комплексных чисел. Он считается также основателем векторного анализа. Дж. Буль заложил основы алгебры логики, которая достигла сво его расцвета в работе Рассела и Уайтхеда «Principia mathematica». Таким образом, в XIX в. росла специализация математики. Ли (1842-1899) систематически изучал группы непрерывных преобразований. Эрмит (1822-1901) после смерти Коши стал ведущим представителем анализа во Франции.

На фоне этих исследований весьма примечательно, что Маркс обратился не к актуальным проблемам, хотя и пользовался новейшими для того времени учебниками по дифференциальному исчислению, а к истории дифференциального исчисления. Проблемы, поставленные им, носили преимущественно исторический характер. О том же свидетельствуют и имена математиков, работы которых прежде всего подвергались осмыслению в математических рукописях: Ньютон (1642-1727), Лейбниц (1648-1716), Тейлор (1685-1731), Маклорен (1698-1746), Лаи- ден (1719-1790), Д’Аламбер (1717-1783), Эйлер (1707-1783), Лагранж (1736-1813)[256]). Однако история математики интересовала Маркса не сама по себе, интерес к ней имел свою логику, связанную, как уже говорилось, с попыткой дать новое обоснование методу дифференциального исчисления.

<< | >>
Источник: Антонова Ирина Константиновна. Марксизм вне политики. Источники, генезис и структура работ Маркса и Энгельса по естествознанию. — М.: Едиториал УРСС,2004. — 192 с.. 2004

Еще по теме § 2. Актуальность исследований Маркса в области математики:

  1. §7. Рукописи Маркса по истории математики
  2. § 1. Причины и цели занятий Маркса математикой
  3. Анализ методологических разрывов в существующих исследованиях и малоисследованные области в проблематике
  4. Исследование последствий перехода на МСФО в различных областях государственного регулирования
  5. Карта современных исследований в области прогнозирования мировых цен на финансовых рынках (курсы валют, сырье, акции)
  6. 17.1. К. Маркс как исследователь. Метод Маркса
  7. Актуальные проблемы развития жилищной сферы в РФ
  8. 2. Предлагают уникальный и актуальный товар
  9. 9.6. Расходы на фундаментальные исследования и исследования космического пространства.
  10. 1. Актуальные проблемы интеграции российской экономики в мировую
  11. Сжечь математику?
  12. 3.20. Наиболее актуальные приложения к бизнес-плану
  13. 7.4. Математика.
  14. §3. Философское обобщение математики как основа ее изучения
  15. Соблазняющая математика
  16. 6.4. Математика
- Информатика для экономистов - Антимонопольное право - Бухгалтерский учет и контроль - Бюджетна система України - Бюджетная система России - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики в России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инновации - Институциональная экономика - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Кризисная экономика - Лизинг - Логистика - Математические методы в экономике - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоговое право - Организация производства - Основы экономики - Политическая экономия - Региональная и национальная экономика - Страховое дело - Теория управления экономическими системами - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятия - Экономика природопользования - Экономика труда - Экономическая безопасность - Экономическая география - Экономическая демография - Экономическая статистика - Экономическая теория и история - Экономический анализ -