Модель Р. Джерроу и А. Субраманиана
Другой подход к рациональной ликвидации портфеля и риску рыночной ликвидности представлен в модели Р. Джерроу и А. Субраманиана [87]. Данная модель задумывалась авторами для решения двух задач:
- определить формулу расчета ожидаемой ликвидационной цены, чтобы использовать ее для замены текущей цены при приведении к рыночной стоимости портфеля;
- определить формулу VaR с учетом ликвидности (LVaR).
В рамках модели предполагается, что трейдеры максимизируют ожидаемую ликвидационную стоимость портфеля, состоящего из S
9 4
единиц рискового актива, за срок, равный T, при заданном постоянном эффекте влияния на цену. Последний моделируется как случайная функция от двух аргументов: дисконта за количество (quantity discount)и случайного лага исполнения (execution lag).Дисконт за количество, в свою очередь, является функцией от текущей рыночной цены. Оба аргумента зависят от объема совершаемой сделки. Модель определяет рациональную стратегию ликвидации, которая отражает желаемое распределение ликвидационной стоимости во времени.
Основной вывод данной модели заключается в том, что при наличии экономии на масштабе при торговле активом[58] закрытие всей позиции одной заявкой (блоком) всегда является оптимальной стратегией. Исходя из этого умозаключения, авторы выводят стохастическую ликвидационную цену, на основании которой можно посчитать как ожидаемую ликвидационную цену, так и LVaR.
Р. Джерроу и А. Субраманиан [87] предлагают следующую структуру рынка. Они называют рисковый актив в своей модели акцией. Для простоты авторами допускается риск-нейтральность трейдеров. Однако модель может быть модифицирована без потери общности для случая несклонных к риску трейдеров.
Рыночная цена акции определяется как последняя за день торгуемая цена за один полный лот (при покупке или продаже). Пусть p(t) означает рыночную цену акции в момент времени t.
Авторы допускают, что между сделками, т.е. когда трейдер отсутствует на рынке, p(t) следует геометрическому броуновскому движению, т.е.: где а - ожидаемая доходность акции, з- стандартное отклонение доходности (в данной модели является постоянной величиной, котораяотносится к моменту сделки) и W(t)- стандартное броуновское движение. Когда трейдер продает s ≤ Sакций в момент времени tпри данной рыночной цене p(t), цена в расчете на одну акцию, которую он получает, выглядит так:
где c(s) представляет коэффициент дисконта за количество, на который наложены следующие ограничения: c(s)- неубывающая по s функция, имеющая значения из интервала между 0 и 1. Дисконт за количество допускается авторами случайной величиной без специфицированного распределения и (для простоты) независимой от процесса рыночной цены p(t). Данная величина признается случайной, потому что ее размер может быть неизвестным до совершения сделки.
Воздействие, оказываемое сделками на рыночную цену, является кумулятивным, т.е. перманентным в терминологии Р. Альмгрена и Н. Крисса [20]. После исполнения сделки новая рыночная цена начинает колебаться от значения, определенного количественным дисконтом, т.е. p(t+) = c(s)p(t), где t+означает момент времени, следующий за t.
Кроме того, при условии, что заявка трейдера на продажу размещена в момент времени t, авторы допускают, что она исполняется в момент времени t+∆(s),где ∆(s)≥0- лаг исполнения (execution lag), который также по построению модели считается неубывающей функцией от s. Другими словами, чем крупнее сделка, тем большее время требуется для ее исполнения. Лаг исполнения - случайная величина (он может быть неизвестен до совершения сделки), независящая от процесса рыночной цены p(t) и дисконта за количество c(s).
Поступления от ликвидации вкладываются на денежном рынке под доходность r.
Для отражения факта, что ликвидация имеет стоимость, накладывается следующее ограничение:
Следовательно, влияние дисконта за количество больше, чем влияние, оказываемое ожидаемым значением цены акции до исполнения, дисконтированным на настоящий момент времени.
Как уже отмечалось, трейдер хочет ликвидировать Sакций за время от t=0до T.По своему усмотрению он может продать акции одним блоком или небольшими частями, но за более длительный период.
Формально, трейдер продает акции, руководствуясь торговой стратегией, определенной как ряд дат (t1, t2, ... , tn)и соответствующий ему ряд проданных акций (s1, s2, ... , sn),таких что s1+s2+ ... +sn=S. Последняя из возможных заявок может быть размещена в момент времени T. Если так, то она будет исполнена в момент времени t+Δ(Sn).
Проблема ликвидации для трейдера сводится к выбору торговой стратегии, максимизирующей ожидаемую стоимость дисконтированных поступлений от продаж Sакций к моменту времени T:
Если нет риска ликвидности, проблема может быть сформулирована следующим образом:
Решая задачу нахождения рациональной стратегии ликвидации, можно получить u*(p,S),максимальные дисконтированные поступления от продажи Sакций, когда текущая рыночная цена равна pи нет риска ликвидности. При допущении о риск-нейтральности рациональная стратегия зависит непосредственно от превышения ожидаемой доходности акции над процентной ставкой: если a>r,то оптимальный вариант - ждать до момента времени T, чтобы ликвидировать Sакций продажей одним блоком с целью получения положительного прироста доходности.
Когда ar), т.е.Следовательно, ликвидационная стоимость портфеля может быть получена приведением к рыночной цене с использованием цены p*,а не p, т.е. ликвидационная стоимость портфеля равна p*S.Из (21) явно следует, что p*меньше, чем p, т.е. ликвидационная цена ниже рыночной цены. Разность между pи p*учитывает издержки ликвидации, приведенные к рыночной стоимости.
Когда нет экономии на масштабе в условиях торговли, (28) не является больше справедливой оценкой ожидаемой ликвидационной цены от оптимального исполнения. Это связано с тем, что продажа блоком в начальный или конечный момент времени не будет больше рациональной стратегией. Следовательно, можно избежать неблагоприятного влияния на цену, разделяя позицию на несколько порций. Тем не менее, p*можно все-таки использовать для консервативной оценки ликвидационной стоимости портфеля. В этом случае ликвидационная стоимость от стратегии раздельных торгов будет, по крайней
мере, равна такой же величине, что и стоимость, полученная от продажи блоком в (28).
Теперь можно перейти к измерению риска ликвидности для расчета VaR. Для сравнения сначала следует рассчитать стандартный VaR для портфеля трейдера. Пусть δ- горизонт, за который рассматривается изменение стоимости портфеля. Стоит отметить, что горизонт и количество проданных акций - независимые величины. Устанавливая доверительный интервал величиною в два стандартных отклонения, можно легко рассчитать стандартный VaR как следующую величину:
где p = p(0) и std [.] представляет стандартное отклонение. При заданном в (19) ценовом процессе простой расчет дает:
Это выражение представляет потери в денежном эквиваленте портфеля из-за движения цены на 2 величины стандартного отклонения ниже среднего.
Используя консервативную оценку ликвидационной стоимости, заданную выражением (28) [которое представляет собой стохастическую функцию от трех независимых стохастических переменных p, c(S)и Δ(S)], можно рассчитать VaR с учетом ликвидности рынка (LVaR) в следующем виде:
Используя выражение (22), авторы нетривиальным способом получают следующий результат:
Потери в денежном выражении стоимости портфеля, включающего риск ликвидности, больше, чем подразумеваются стандартным VaR. Расчет LVaR отличается от стандартного расчета по трем направлениям:
• Во-первых, ликвидационный горизонт δзамещается ожидаемым лагом исполнения в продаже Sакций, E[Δ(S)]. Он может отличаться из-за объема акций в портфеле;
• Во-вторых, начальный дисконт по проданным акциям должен быть включен. Речь идет о выражении E[ln c(S)]. Он отрицателен из-за c(S) C 1.
• В-третьих, волатильность изменений в стоимости должна быть увеличена, чтобы включить волатиль-
Описанная в данной работе величина LVaR рассчитывается достаточно простым образом только в теории. Ее расчет требует оценки среднего и стандартного отклонения движения рыночной цены (а,з), оценки среднего и стандартного отклонения дисконта за количество (E[ln c(S)], std[ln c(S)] и оценки среднего и стандартного отклонения времени исполнения для блока из Sакций (E[Δ(S)], std[Δ(S)]. В принципе они должны быть легко оцениваемы, чтобы иметь применение на практике.
Так дело обстоит только в случае среднего и стандартного отклонения рыночной цены, значения которых получаются стандартными статистическими техниками.
Расчет остающихся параметров болеепроблематичен. Для того чтобы вывести параметры распределений c(S) и Δ(S), финансовым институтам нужно собирать данные о временных рядах торгуемых акций, получаемых цен и статистику времени исполнения заявок разного объема.
Модель Р. Джерроу и А. Субраманиана [87] представляет собой увлекательную попытку применения риск-нейтрального подхода к управлению риском ликвидности. Ликвидационная стоимость зависит только от размера позиции Sи «объективных» рыночных переменных, т.е. ожидаемого лага исполнения Δ(S) и количественного дисконта c(S). Субъективные параметры политики или ограничения, такие как верхний предел времени ликвидации Tне являются релевантными. В этой модели концепция динамической оптимизации обеспечивает только процедуру для получения компактной оценки ликвидационной стоимости и LVaR. Модель структурирована для того, чтобы сделать такие меры полностью независимыми от произвольных (получаемых в результате дробления) стратегий исполнения.
2.6
Еще по теме Модель Р. Джерроу и А. Субраманиана:
- 4.2. Регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний 4.2.1. Описание модели, параметрическая идентификации и ретроспективный прогноз Агенты модели
- Мир экономико-математических моделей: модели экономических теорий и модели экономических объектов
- Редуцированные модели или модели, основанные на интенсивности дефолтов, или упрощенные модели.
- Факторные модели и их использование в экономическом анализе: виды моделей, способы моделирования.
- Неструктурные модели временных рядов и модели, построенные на основе фьючерсных цен
- 3.2. Математическая модель Гудвина конъюнктурных колебаний растущей экономики 3.2.1. Описание модели.
- Структурные модели равновесия и комбинированные авторские модели
- Структурные модели или модели оценки CDS на основе стоимости фирмы
- Модели рыночной экономики. Особенности белорусской модели социально-экономического развития
- Приложение 2. Обоснование вида модели динамики цен на газ и определение параметров модели