<<
>>

Модель Р. Джерроу и А. Субраманиана

Другой подход к рациональной ликвидации портфеля и риску рыночной ликвидности представлен в модели Р. Джерроу и А. Субра­маниана [87]. Данная модель задумывалась авторами для решения двух задач:

- определить формулу расчета ожидаемой ликвидационной цены, чтобы использовать ее для замены текущей цены при приведении к рыночной стоимости портфеля;

- определить формулу VaR с учетом ликвидности (LVaR).

В рамках модели предполагается, что трейдеры максимизируют ожидаемую ликвидационную стоимость портфеля, состоящего из S

9 4

единиц рискового актива, за срок, равный T, при заданном постоян­ном эффекте влияния на цену. Последний моделируется как случайная функция от двух аргументов: дисконта за количество (quantity dis­count)и случайного лага исполнения (execution lag).Дисконт за коли­чество, в свою очередь, является функцией от текущей рыночной це­ны. Оба аргумента зависят от объема совершаемой сделки. Модель определяет рациональную стратегию ликвидации, которая отражает желаемое распределение ликвидационной стоимости во времени.

Основной вывод данной модели заключается в том, что при на­личии экономии на масштабе при торговле активом[58] закрытие всей позиции одной заявкой (блоком) всегда является оптимальной страте­гией. Исходя из этого умозаключения, авторы выводят стохастиче­скую ликвидационную цену, на основании которой можно посчитать как ожидаемую ликвидационную цену, так и LVaR.

Р. Джерроу и А. Субраманиан [87] предлагают следующую структуру рынка. Они называют рисковый актив в своей модели акци­ей. Для простоты авторами допускается риск-нейтральность трейде­ров. Однако модель может быть модифицирована без потери общно­сти для случая несклонных к риску трейдеров.

Рыночная цена акции определяется как последняя за день тор­гуемая цена за один полный лот (при покупке или продаже). Пусть p(t) означает рыночную цену акции в момент времени t.

Авторы до­пускают, что между сделками, т.е. когда трейдер отсутствует на рын­ке, p(t) следует геометрическому броуновскому движению, т.е.: где а - ожидаемая доходность акции, з- стандартное отклонение до­ходности (в данной модели является постоянной величиной, которая

относится к моменту сделки) и W(t)- стандартное броуновское дви­жение. Когда трейдер продает s ≤ Sакций в момент времени tпри данной рыночной цене p(t), цена в расчете на одну акцию, которую он получает, выглядит так:

где c(s) представляет коэффициент дисконта за количество, на кото­рый наложены следующие ограничения: c(s)- неубывающая по s функция, имеющая значения из интервала между 0 и 1. Дисконт за ко­личество допускается авторами случайной величиной без специфици­рованного распределения и (для простоты) независимой от процесса рыночной цены p(t). Данная величина признается случайной, потому что ее размер может быть неизвестным до совершения сделки.

Воздействие, оказываемое сделками на рыночную цену, являет­ся кумулятивным, т.е. перманентным в терминологии Р. Альмгрена и Н. Крисса [20]. После исполнения сделки новая рыночная цена начи­нает колебаться от значения, определенного количественным дискон­том, т.е. p(t+) = c(s)p(t), где t+означает момент времени, следующий за t.

Кроме того, при условии, что заявка трейдера на продажу раз­мещена в момент времени t, авторы допускают, что она исполняется в момент времени t+∆(s),где ∆(s)≥0- лаг исполнения (execution lag), который также по построению модели считается неубывающей функ­цией от s. Другими словами, чем крупнее сделка, тем большее время требуется для ее исполнения. Лаг исполнения - случайная величина (он может быть неизвестен до совершения сделки), независящая от процесса рыночной цены p(t) и дисконта за количество c(s).

Поступления от ликвидации вкладываются на денежном рынке под доходность r.

Для отражения факта, что ликвидация имеет стоимость, накла­дывается следующее ограничение:

Следовательно, влияние дисконта за количество больше, чем влияние, оказываемое ожидаемым значением цены акции до исполне­ния, дисконтированным на настоящий момент времени.

Как уже отмечалось, трейдер хочет ликвидировать Sакций за время от t=0до T.По своему усмотрению он может продать акции одним блоком или небольшими частями, но за более длительный пе­риод.

Формально, трейдер продает акции, руководствуясь торговой стратегией, определенной как ряд дат (t1, t2, ... , tn)и соответствующий ему ряд проданных акций (s1, s2, ... , sn),таких что s1+s2+ ... +sn=S. Последняя из возможных заявок может быть размещена в момент времени T. Если так, то она будет исполнена в момент времени t+Δ(Sn).

Проблема ликвидации для трейдера сводится к выбору торговой стратегии, максимизирующей ожидаемую стоимость дисконтирован­ных поступлений от продаж Sакций к моменту времени T:

Если нет риска ликвидности, проблема может быть сформули­рована следующим образом:

Решая задачу нахождения рациональной стратегии ликвидации, можно получить u*(p,S),максимальные дисконтированные поступле­ния от продажи Sакций, когда текущая рыночная цена равна pи нет риска ликвидности. При допущении о риск-нейтральности рациональ­ная стратегия зависит непосредственно от превышения ожидаемой доходности акции над процентной ставкой: если a>r,то оптимальный вариант - ждать до момента времени T, чтобы ликвидировать Sакций продажей одним блоком с целью получения положительного прироста доходности.

Когда ar), т.е.

Следовательно, ликвидационная стоимость портфеля может быть получена приведением к рыночной цене с использованием цены p*,а не p, т.е. ликвидационная стоимость портфеля равна p*S.Из (21) явно следует, что p*меньше, чем p, т.е. ликвидационная цена ниже рыночной цены. Разность между pи p*учитывает издержки ликвида­ции, приведенные к рыночной стоимости.

Когда нет экономии на масштабе в условиях торговли, (28) не является больше справедливой оценкой ожидаемой ликвидационной цены от оптимального исполнения. Это связано с тем, что продажа блоком в начальный или конечный момент времени не будет больше рациональной стратегией. Следовательно, можно избежать неблаго­приятного влияния на цену, разделяя позицию на несколько порций. Тем не менее, p*можно все-таки использовать для консервативной оценки ликвидационной стоимости портфеля. В этом случае ликвида­ционная стоимость от стратегии раздельных торгов будет, по крайней

мере, равна такой же величине, что и стоимость, полученная от про­дажи блоком в (28).

Теперь можно перейти к измерению риска ликвидности для рас­чета VaR. Для сравнения сначала следует рассчитать стандартный VaR для портфеля трейдера. Пусть δ- горизонт, за который рассмат­ривается изменение стоимости портфеля. Стоит отметить, что гори­зонт и количество проданных акций - независимые величины. Уста­навливая доверительный интервал величиною в два стандартных от­клонения, можно легко рассчитать стандартный VaR как следующую величину:

где p = p(0) и std [.] представляет стандартное отклонение. При задан­ном в (19) ценовом процессе простой расчет дает:

Это выражение представляет потери в денежном эквиваленте портфеля из-за движения цены на 2 величины стандартного отклоне­ния ниже среднего.

Используя консервативную оценку ликвидационной стоимости, заданную выражением (28) [которое представляет собой стохастиче­скую функцию от трех независимых стохастических переменных p, c(S)и Δ(S)], можно рассчитать VaR с учетом ликвидности рынка (LVaR) в следующем виде:

Используя выражение (22), авторы нетривиальным способом получают следующий результат:

Потери в денежном выражении стоимости портфеля, включаю­щего риск ликвидности, больше, чем подразумеваются стандартным VaR. Расчет LVaR отличается от стандартного расчета по трем на­правлениям:

• Во-первых, ликвидационный горизонт δзамещается ожидаемым лагом исполнения в продаже Sакций, E[Δ(S)]. Он может отличаться из-за объема акций в портфеле;

• Во-вторых, начальный дисконт по проданным акциям должен быть включен. Речь идет о выражении E[ln c(S)]. Он отрицателен из-за c(S) C 1.

• В-третьих, волатильность изменений в стоимости должна быть увеличена, чтобы включить волатиль-

Описанная в данной работе величина LVaR рассчитывается дос­таточно простым образом только в теории. Ее расчет требует оценки среднего и стандартного отклонения движения рыночной цены (а,з), оценки среднего и стандартного отклонения дисконта за количество (E[ln c(S)], std[ln c(S)] и оценки среднего и стандартного отклонения времени исполнения для блока из Sакций (E[Δ(S)], std[Δ(S)]. В прин­ципе они должны быть легко оцениваемы, чтобы иметь применение на практике.

Так дело обстоит только в случае среднего и стандартного от­клонения рыночной цены, значения которых получаются стандартны­ми статистическими техниками.

Расчет остающихся параметров более

проблематичен. Для того чтобы вывести параметры распределений c(S) и Δ(S), финансовым институтам нужно собирать данные о вре­менных рядах торгуемых акций, получаемых цен и статистику време­ни исполнения заявок разного объема.

Модель Р. Джерроу и А. Субраманиана [87] представляет собой увлекательную попытку применения риск-нейтрального подхода к управлению риском ликвидности. Ликвидационная стоимость зависит только от размера позиции Sи «объективных» рыночных переменных, т.е. ожидаемого лага исполнения Δ(S) и количественного дисконта c(S). Субъективные параметры политики или ограничения, такие как верхний предел времени ликвидации Tне являются релевантными. В этой модели концепция динамической оптимизации обеспечивает только процедуру для получения компактной оценки ликвидационной стоимости и LVaR. Модель структурирована для того, чтобы сделать такие меры полностью независимыми от произвольных (получаемых в результате дробления) стратегий исполнения.

2.6

<< | >>
Источник: Науменко Владимир Викторович. РЕСТРУКТУРИЗАЦИЯ КРУПНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ ЦЕННЫХ БУМАГ В УСЛОВИЯХ НИЗКОЙ ЛИКВИДНОСТИ РЫНКА. ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Москва - 2012. 2012

Еще по теме Модель Р. Джерроу и А. Субраманиана:

  1. 4.2. Регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний 4.2.1. Описание модели, параметрическая идентификации и ретроспективный прогноз Агенты модели
  2. Мир экономико-математических моделей: модели экономических теорий и модели экономических объектов
  3. Редуцированные модели или модели, основанные на интенсивности дефолтов, или упрощенные модели.
  4. Факторные модели и их использование в экономическом анализе: виды моделей, способы моделирования.
  5. Неструктурные модели временных рядов и модели, построенные на основе фьючерсных цен
  6. 3.2. Математическая модель Гудвина конъюнктурных колебаний растущей экономики 3.2.1. Описание модели.
  7. Структурные модели равновесия и комбинированные авторские модели
  8. Структурные модели или модели оценки CDS на основе стоимости фирмы
  9. Модели рыночной экономики. Особенности белорусской модели социально-экономического развития
  10. Приложение 2. Обоснование вида модели динамики цен на газ и определение параметров модели