<<
>>

2.5.3 Модель Р. Альмгрена и Н. Крисса

В работе Р. Альмгрена и Н. Крисса [20] представлена подробно специфицированная модель для оптимизации издержек, связанных с исполнением сделок.

Пусть инвестор имеет блок из Xединиц актива, который он же­лает полностью ликвидировать до окончания момента времени T.Ав­торы делят период Tна Nинтервалов длиной τ = T/Nкаждый и опре­деляют дискретные величины tk = kτдля к= 0, ...

, N.В данной модели 5Понятие «implementation shortfall»введено в обращение А. Перольдом [120].

∩A

торговая траектория (trading trajectory)определяется как ряд xo, ... , xN, где xk- число единиц актива, которые инвестор планирует держать в момент времени tk.Начальная позиция равна xo = X, и условие ликви­дации в момент времени T требует xN = O.Любой стратегии можно также поставить в соответствие ряд торговли no, ... , nN (nkопределя­ется на основе информации, доступной в момент времени tk-1).

Работа рассматривает случай ликвидации длинной позиции пу­тем продажи Xединиц актива. Случай покупки при закрытии корот­кой позиции, по утверждению авторов, требует схожего анализа.

Торговая стратегия определяется как правило для определения nkна основе информации, доступной в момент времени tk-1.Есть два основных типа стратегий: статические стратегии определяются в преддверие торговли; в динамических стратегиях, наоборот, каждый nkзависит от всей доступной до этого момента информации, включая на момент времени tk-1.

Пусть начальная цена актива равна So. Следовательно, началь­ная рыночная стоимость позиции инвестора равна XSo. Цена актива изменяется согласно двум экзогенным факторам (под действием слу­чайных сил, независящих от совершаемых инвестором сделок) - вола­тильности и сноса - и одного эндогенного фактора, вызванного тор­говлей с участием инвестора, - влияния на цену.

Р. Альмгрен и Н. Крисс [20] подразделяют оказываемое на равновесную цену влияние на временное и постоянное. Постоянное влияние имеет действие, по меньшей мере, в течение ликвидации всей позиции. В модели допус­кается, что цена актива изменяется согласно дискретному процессу арифметического случайного блуждания.

Трейдер получает цену исполнения за продажу nkединиц, кото­рая рассчитывается корректировкой Skна временное влияние на цену, моделируемое функцией h(v)от среднего уровня торговли. Таким об-

91

разом, полученная цена единицы актива, проданного в момент време-

Общие издержки от исполнения заявки - разность между XS0(начальным значением позиции, выраженной рыночной стоимо­стью)(выручка от завершения всех торгов, т.е. произведение

суммы проданных единиц актива nkв каждом из интервалов времени и эффективной цены Skза каждую такую продажу). Таким образом, это стандартная мера фактических (ex-post)трансакционных издер­жек, используемая в оценке деятельности, которую А. Перольд [120] назвал дефицитом исполнения (implementation shortfall).

В этой модели дефицит исполнения является случайной вели­чиной. Поэтому для анализа используются математическое ожидание и дисперсия данной величины:

Дисперсия дефицита исполнения зависит только от экзогенной волатильности. Функции, выражающие влияние на цену, признаются детерминированными. Стоит отметить, что V(x)рассчитывается как потенциальные потери вследствие шока, равного волатильности на временном горизонте T,при наличии позиции, размер которой есть средневзвешенная по времени квадратов объемов позиции, поддержи­ваемой между t0и tN.Р.

Альмгрен и Н. Крисс [20] также показали в своей работе, что для каждого значения неприятия к риску существует однозначно определенная оптимальная стратегия исполнения.

При наличии торговой стратегии x=(x1, ... , xN)можно опреде­лить VaRpкак уровень трансакционных издержек, порождаемых стра­тегией X, который не будет превышен с вероятностью, большей чемp.

При условии арифметического броуновского движения общие издержки нормально распределены с известным математическим ожиданием и дисперсией. Следовательно, VaR для стратегии xопре­деляется формулой:

Таким образом, с вероятностью pторговая стратегия не приве­дет к потерям, большим чем VaRp (x) от рыночной стоимости торгов­ли. Стратегия xявляется эффективной, если она имеет наименьшее возможное значение VaRp(x) для заданной вероятности p.При этом 4v означает количество стандартных отклонений от среднего значения E(x).

Авторы отмечают, что VaRp (x) - сложная нелинейная функция от всех xj,составляющих x. Другими словами, можно легко оценить ее для любой заданной траектории, но прямое нахождение минимизи­рующей траектории представляет трудную задачу, для решения кото­рой нужно оценивать функции полезности и т.д. Несмотря на все эти трудности, авторы предлагают использовать наименьшее возможное значение VaRp (x) как информативную меру потенциальных потерь портфеля относительно начального значения с учетом ликвидности рынка. Это значение, названное в работе «VaR с учетом ликвидности» (Liquidity-adjusted VaR),зависит от времени для ликвидации и от вы­бранного уровня вероятности, а также от рыночных параметров, таких как коэффициент влияния на цену.

Р. Альмгрен и Н. Крисс [20] получили такие результаты, ис­пользуя статические процедуры оптимизации, которые ведут к опти-

мальным торговым траекториям, определяемым в преддверие непо­средственной торговли. Они рассматривают статично оптимальные стратегии как эталон (benchmark)для сравнения с динамическими стратегиями, использующими поступающую в течение ликвидации позиции информацию.

Таким образом, Р. Альмгрен и Н. Крисс [20] провели очень тща­тельный и впечатляющий анализ. Их подход включает процедуру оценивания LVaR при условии заданной функции влияния на цену со стабильными параметрами. Неприятности, возникающие вследствие неожиданных событий, воздействующих на влияние на цену, обсуж­даются, но не встраиваются в модель. Изыскания касательно страте­гий рационального исполнения имеют больший практический инте­рес, чем предлагаемое в модели управление риском ликвидности.

Я. Хисата и Я. Ямаи [79] развили теорию Р. Альмгрена и Н. Крисса в нескольких направлениях, сравнив процессы в дискретном и непрерывном времени и включив в анализ период рациональной лик­видации в качестве эндогенной переменной.

2.5.3

<< | >>
Источник: Науменко Владимир Викторович. РЕСТРУКТУРИЗАЦИЯ КРУПНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ ЦЕННЫХ БУМАГ В УСЛОВИЯХ НИЗКОЙ ЛИКВИДНОСТИ РЫНКА. ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Москва - 2012. 2012

Еще по теме 2.5.3 Модель Р. Альмгрена и Н. Крисса:

  1. 4.2. Регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний 4.2.1. Описание модели, параметрическая идентификации и ретроспективный прогноз Агенты модели
  2. Мир экономико-математических моделей: модели экономических теорий и модели экономических объектов
  3. Редуцированные модели или модели, основанные на интенсивности дефолтов, или упрощенные модели.
  4. Факторные модели и их использование в экономическом анализе: виды моделей, способы моделирования.
  5. Неструктурные модели временных рядов и модели, построенные на основе фьючерсных цен
  6. 3.2. Математическая модель Гудвина конъюнктурных колебаний растущей экономики 3.2.1. Описание модели.
  7. Структурные модели равновесия и комбинированные авторские модели
  8. Структурные модели или модели оценки CDS на основе стоимости фирмы
  9. Модели рыночной экономики. Особенности белорусской модели социально-экономического развития
  10. Приложение 2. Обоснование вида модели динамики цен на газ и определение параметров модели
  11. Развитие модели Мертона. Другие виды структурных моделей.
  12. Общая модель макроэкономического равновесия IS—LM (модель Хикса-Хансена)
  13. 3.1. Математическая модель цикла Кондратьева 3.1.1. Описание модели.