2.5.3 Модель Р. Альмгрена и Н. Крисса
В работе Р. Альмгрена и Н. Крисса [20] представлена подробно специфицированная модель для оптимизации издержек, связанных с исполнением сделок.
Пусть инвестор имеет блок из Xединиц актива, который он желает полностью ликвидировать до окончания момента времени T.Авторы делят период Tна Nинтервалов длиной τ = T/Nкаждый и определяют дискретные величины tk = kτдля к= 0, ...
, N.В данной модели 5Понятие «implementation shortfall»введено в обращение А. Перольдом [120].∩A
торговая траектория (trading trajectory)определяется как ряд xo, ... , xN, где xk- число единиц актива, которые инвестор планирует держать в момент времени tk.Начальная позиция равна xo = X, и условие ликвидации в момент времени T требует xN = O.Любой стратегии можно также поставить в соответствие ряд торговли no, ... , nN (nkопределяется на основе информации, доступной в момент времени tk-1).
Работа рассматривает случай ликвидации длинной позиции путем продажи Xединиц актива. Случай покупки при закрытии короткой позиции, по утверждению авторов, требует схожего анализа.
Торговая стратегия определяется как правило для определения nkна основе информации, доступной в момент времени tk-1.Есть два основных типа стратегий: статические стратегии определяются в преддверие торговли; в динамических стратегиях, наоборот, каждый nkзависит от всей доступной до этого момента информации, включая на момент времени tk-1.
Пусть начальная цена актива равна So. Следовательно, начальная рыночная стоимость позиции инвестора равна XSo. Цена актива изменяется согласно двум экзогенным факторам (под действием случайных сил, независящих от совершаемых инвестором сделок) - волатильности и сноса - и одного эндогенного фактора, вызванного торговлей с участием инвестора, - влияния на цену.
Р. Альмгрен и Н. Крисс [20] подразделяют оказываемое на равновесную цену влияние на временное и постоянное. Постоянное влияние имеет действие, по меньшей мере, в течение ликвидации всей позиции. В модели допускается, что цена актива изменяется согласно дискретному процессу арифметического случайного блуждания.Трейдер получает цену исполнения за продажу nkединиц, которая рассчитывается корректировкой Skна временное влияние на цену, моделируемое функцией h(v)от среднего уровня торговли. Таким об-
91
разом, полученная цена единицы актива, проданного в момент време-
Общие издержки от исполнения заявки - разность между XS0(начальным значением позиции, выраженной рыночной стоимостью)(выручка от завершения всех торгов, т.е. произведение
суммы проданных единиц актива nkв каждом из интервалов времени и эффективной цены Skза каждую такую продажу). Таким образом, это стандартная мера фактических (ex-post)трансакционных издержек, используемая в оценке деятельности, которую А. Перольд [120] назвал дефицитом исполнения (implementation shortfall).
В этой модели дефицит исполнения является случайной величиной. Поэтому для анализа используются математическое ожидание и дисперсия данной величины:
Дисперсия дефицита исполнения зависит только от экзогенной волатильности. Функции, выражающие влияние на цену, признаются детерминированными. Стоит отметить, что V(x)рассчитывается как потенциальные потери вследствие шока, равного волатильности на временном горизонте T,при наличии позиции, размер которой есть средневзвешенная по времени квадратов объемов позиции, поддерживаемой между t0и tN.Р.
Альмгрен и Н. Крисс [20] также показали в своей работе, что для каждого значения неприятия к риску существует однозначно определенная оптимальная стратегия исполнения.При наличии торговой стратегии x=(x1, ... , xN)можно определить VaRpкак уровень трансакционных издержек, порождаемых стратегией X, который не будет превышен с вероятностью, большей чемp.
При условии арифметического броуновского движения общие издержки нормально распределены с известным математическим ожиданием и дисперсией. Следовательно, VaR для стратегии xопределяется формулой:
Таким образом, с вероятностью pторговая стратегия не приведет к потерям, большим чем VaRp (x) от рыночной стоимости торговли. Стратегия xявляется эффективной, если она имеет наименьшее возможное значение VaRp(x) для заданной вероятности p.При этом 4v означает количество стандартных отклонений от среднего значения E(x).
Авторы отмечают, что VaRp (x) - сложная нелинейная функция от всех xj,составляющих x. Другими словами, можно легко оценить ее для любой заданной траектории, но прямое нахождение минимизирующей траектории представляет трудную задачу, для решения которой нужно оценивать функции полезности и т.д. Несмотря на все эти трудности, авторы предлагают использовать наименьшее возможное значение VaRp (x) как информативную меру потенциальных потерь портфеля относительно начального значения с учетом ликвидности рынка. Это значение, названное в работе «VaR с учетом ликвидности» (Liquidity-adjusted VaR),зависит от времени для ликвидации и от выбранного уровня вероятности, а также от рыночных параметров, таких как коэффициент влияния на цену.
Р. Альмгрен и Н. Крисс [20] получили такие результаты, используя статические процедуры оптимизации, которые ведут к опти-
мальным торговым траекториям, определяемым в преддверие непосредственной торговли. Они рассматривают статично оптимальные стратегии как эталон (benchmark)для сравнения с динамическими стратегиями, использующими поступающую в течение ликвидации позиции информацию.
Таким образом, Р. Альмгрен и Н. Крисс [20] провели очень тщательный и впечатляющий анализ. Их подход включает процедуру оценивания LVaR при условии заданной функции влияния на цену со стабильными параметрами. Неприятности, возникающие вследствие неожиданных событий, воздействующих на влияние на цену, обсуждаются, но не встраиваются в модель. Изыскания касательно стратегий рационального исполнения имеют больший практический интерес, чем предлагаемое в модели управление риском ликвидности.
Я. Хисата и Я. Ямаи [79] развили теорию Р. Альмгрена и Н. Крисса в нескольких направлениях, сравнив процессы в дискретном и непрерывном времени и включив в анализ период рациональной ликвидации в качестве эндогенной переменной.
2.5.3
Еще по теме 2.5.3 Модель Р. Альмгрена и Н. Крисса:
- 4.2. Регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний 4.2.1. Описание модели, параметрическая идентификации и ретроспективный прогноз Агенты модели
- Мир экономико-математических моделей: модели экономических теорий и модели экономических объектов
- Редуцированные модели или модели, основанные на интенсивности дефолтов, или упрощенные модели.
- Факторные модели и их использование в экономическом анализе: виды моделей, способы моделирования.
- Неструктурные модели временных рядов и модели, построенные на основе фьючерсных цен
- 3.2. Математическая модель Гудвина конъюнктурных колебаний растущей экономики 3.2.1. Описание модели.
- Структурные модели равновесия и комбинированные авторские модели
- Структурные модели или модели оценки CDS на основе стоимости фирмы
- Модели рыночной экономики. Особенности белорусской модели социально-экономического развития
- Приложение 2. Обоснование вида модели динамики цен на газ и определение параметров модели
- Развитие модели Мертона. Другие виды структурных моделей.
- Общая модель макроэкономического равновесия IS—LM (модель Хикса-Хансена)
- 3.1. Математическая модель цикла Кондратьева 3.1.1. Описание модели.