<< Предыдушая Следующая >>

Характеристическая функция игры

Теорию кооперативных игр интересует в основном то, какие коалиции образуются в процессе игры и какие условия необходимы для устойчивого существования коалиций.
Игра в нормальной форме, как достаточно подробное описание конфликтной ситуации, оказалась слишком сложной моделью для исследования кооперативных взаимодействий игроков. Чтобы описать с помощью игры в нормальной форме даже самый простой переговорный процесс между игроками, требуется немыслимое усложнение множества их стратегий, включающее в себя как элементы, соответствующие передаче информации другим игрокам, так и элементы, описывающие реакцию на их сообщения. Основная идея теории кооперативных игр состоит в том, чтобы, не рассматривая переговорный процесс как таковой, анализировать возможные его исходы и делать выводы о реализуемости того или иного результата переговоров. Поэтому и элементами описания игры в форме характеристической функции - базовой модели теории кооперативных игр - являются не стратегии игроков, а выигрыши, которые может себе гарантировать та или иная коалиция.
Игра в форме характеристической функции может быть построена на основе игры в нормальной форме. Так обычно и приходится делать, потому что реальные конфликты обычно формулируются сперва в нормальной форме - перечислением множества игроков, их стратегий и функций выигрыша. Характе-ристическая функция определяет выигрыш, получаемый коалицией S (если в процессе игры такая коалиция образовалась) при
рациональных действиях ее участников [70]. Решение о том, что понимать в каждом конкретном случае под рациональными действиями игроков, принимается из анализа игры в нормальной форме и выбранной модели рационального поведения.
Базовая модель кооперативной игры разрешает передачу выигрыша между игроками, а это значит, что предполагается наличие линейно-трансферабельного товара [72], например, денег. Это предположение типично для экономических моделей, к которым относятся и модели управления ОС.
Характеристической функцией игры п лиц называется такая вещественнозначная функция v(S), определенная на подмножествах S с 7V множества игроков N, что v(0) = 0 [67]. Характеристическая функция называется супераддитивной, если (1) MS,T = 0 v(S) + V(T)то есть для любых непересекающихся коалиций их объединение может получить полезность не меньшую, чем эти коалиции могли бы в сумме получить, действуя по отдельности [67]. В этих условиях объединение в коалицию, включающую всех игроков, представляет собой самое эффективное с точки зрения суммарной полезности поведение участников игры, однако устойчивость этой коалиции требует дополнительного исследования (см. ниже).
Супераддитивные игры представляют собой в некотором смысле типичный случай. Действительно, пусть имеются коалиции S и 7 с их выигрышами v(.V) и v(7). Что мешает образующейся коалиции S U Т действовать так, как если бы такого объединения не существовало? Тогда полезность этой коалиции будет как минимум равна сумме полезностей коалиций S и Т, обеспечивая супераддитивность.
Эти нестрогие рассуждения, как показано ниже, верны лишь при некоторых предположениях.
Классическая теория [54, 67] рассматривает в основном супераддитивные игры. Главные вопросы, которые встают при их исследовании - это вопросы об условиях реализуемости максимальной коалиции N и справедливом распределении выигрыша v(N) между игроками.
Обычно игровые задачи, в том числе и задачи управления ОС, ставятся в нормальной форме. Для исследования коалицион-
ного взаимодействия игру необходимо перевести в форму характеристической функции. При этом процедура перехода существенно зависит от используемого принципа рационального поведения игроков.
Для классической постановки задачи теории кооперативных игр характерно отсутствие информированности членов коалиции о стратегиях игроков, не входящих в коалицию и о структуре других образовавшихся коалиций. В этих условиях осторожные игроки должны использовать принцип максимального гарантированного результата (МГР) для оценки выигрыша коалиции, к которой они собираются присоединиться. Применение принципа МГР для некоторой коалиции S состоит в минимизации выигрыша коалиции по стратегиям игроков, не входящих в коалицию S, и, затем, в максимизации выигрыша по стратегии коалиции S.
Под стратегией коалиции понимается вектор стратегий ее участников, а под выигрышем коалиции - сумма их выигрышей. Характеристическая функция определяется выражением (2) v(S) = max min E/JOWms)],
ys^AS yN\SGAN\S iGS
где = (.уДея e = ДД - вектор действий участников
i<=S
коалиции S, afi(.) - их целевые функции.
В выражении (2) можно заменить чистые стратегии на смешанные. Тогда v(.V) будет в точности совпадать с нижним значением [54, 68] антагонистической игры двух лиц - коалиции S и коалиции N\S. Введенная таким образом характеристическая функция всегда супераддитивна [70].
Несмотря на удобство применения принципа МГР для построения характеристической функции, дополнительная информированность игроков может сделать более логичным использование других концепций равновесия. Обратим внимание на то, что переговорный процесс должен сопровождаться передачей игроками друг другу информации о своих функциях выигрыша, поскольку подобные данные могут оказывать существенное влияние на структуру коалиций. В связи с этим можно предположить, что к моменту окончательного выбора коалиции каждый игрок (а значит и любая коалиция) будет
обладать информацией о целевых функциях всех остальных игроков (а, значит, и всех возможных коалиций).
Тогда коалиция S должна ожидать от остальных игроков действий, направленных на максимизацию их функций полезности, а не действий, наихудших для коалиции S, как предписывает МГР.
<< Предыдушая Следующая >>
= Перейти к содержанию учебника =

Характеристическая функция игры

  1. Описание игры в форме характеристической функции
    Определение 1 [67]: Игра в форме характеристической функции задается множеством игроков N и характеристической функцией v(-) на его подмножествах. Многими исследователями отмечалось [65, 67, 70, 83], что вопрос о порядке и способах взаимодействия игроков в теории кооперативных игр разработан недостаточно полно. Однако целью введения характеристической функции, как основы описания игры, является
  2. 3.3. Построение характеристической функции игры
    Для произвольной коалиции Т с N обозначим хт := х( = Xя", - получаемое коалицией количество геТ геТ ресурса; гт := - оптимальное для коалиции количество гёГ ресурса; Z(xT,T) \= {ут (хт) = (ylT) ieT : XУ1Т =хт) ~ множество геТ возможных распределений ресурса хт между участниками коалиции. Для rN будем использовать также обозначение p\=rN . fT (хт) = max X./, О', у (хт)) ~ целевая функция коали-
  3.   § 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
      3.1. Конструкция характеристической функции бескоалиционной игры является для общей теории характеристических функций в некотором смысле универсальной. Теорема. Какова бы ни была функция v: 2Z-*R              (3.1) с конечным множеством игроков /, обладающая свойствами персоналъ- ности и супераддитивности, существует конечная бескоалиционная игра r = </,{x,}.er
  4.   § 10. ДЕЛЕЖИ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
      Присоединение к заданию характеристической функции множества допустимых дележей, т.е. ее превращение в кооперативную игру, можно рассматривать как своего рода оптимальное решение задачи, которая описывается характеристической функцией. Это значит, что характеристи&ческая функция бескоалиционной игры находит в соответствующей ей кооперативной игре некоторое свое оптимизационное уточнение. Однако
  5.   § 2. АБСТРАКТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
      Говоря абстрактно, характеристическая функция бескоалиционной игры состоит в постановке в соответствие каждому подмножеству некоторо&го множества (игроков) вещественного числа. Поэтому о ней можно го&ворить и вне какой-либо связи с бескоалиционными играми. На этом пути возникает весьма плодотворное понятие кооперативной игры, о которой речь будет идти ниже. Определение.
  6.   § 8. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ ИГРОКОВ
      В соответствии со сказанным в п. 7.4 мы будем для любого числа и игроков фиксировать наличие нулевой характеристической функции как представителя класса несущественных характеристических функций, а также перечислять все 0 - 1-редуцированные характеристические функции как представителей классов существенных характеристических функций. Из сказанного в п. 4.1 следует, что каждая
  7. § 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГР 
    Пусть нам дана бескоалиционная игра Г = </, {X/} /є/, Ш, } .є/>.              (1.1) Предположим, что игроки, составляющие некоторую коалицию К С /, объединяются в условиях этой игры для борьбы в общих для них интере&сах. Поставим вопрос о том наибольшем выигрыше, который игроки из К могут с уверенностью совместно получить. Проанализируем поставленный вопрос с
  8.   § 5. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
      5.1. Между характеристическими функциями, как и между другими тео&ретико-игровыми объектами, имеют место естественные соотношения аф&финной эквивалентности и изоморфности. Определение. Две характеристические функции v и v'              (5.1) над одним и тем же множеством игроков / назьюаются (однородно) аф&финно эквивалентными, если существует такое к> 0 и такие вещественные
  9.   § 4. ЛИНЕЙНАЯ СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА ВСЕХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
      В линейном пространстве всех вещественных функций на множест&ве 21 множество ІУ(І) всех характеристических функций над / (т.е. функ&ций, обладающих свойствами супераддитивносш и персональности) имеет определенное строение. Теорема. В пространстве всех вещественных функций на I (где 11 | = п) множество V(I) является выпуклым конусом, размерность ко&торого не превосходит 2п — 1.
  10.   § 26. ИГРЫ С РАЗРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ВЫИГРЫША
      Отмеченная в п. 8.3 принципиальная возможность сколь угодно точного реше&ния вполне ограниченных игр, и в том числе - согласно п. 11.4 - непрерывных игр на единичном квадрате, распространению на игры на единичном квадрате с разрывны&ми функциями выигрыша, вообще говоря, не поддается. В § 20 нами были рассмотре&ны выпуклые игры с разрывными функциями выигрыша при конкретных значениях стратегий
  11. Рыночный риск ценной бумаги и характеристическая линия
    Так как рыночный (систематический) риск отражает зависимость | движения ожидаемой доходности рассматриваемого актива (например, І акции) от движения рынка в целом (рыночного портфеля), то мерой р рыночного риска может быть выбрана степень этой зависимости. Гра- | фически связь ожидаемой доходности по акции j (kj) и ожидаемой до- ходности рынка km — это характеристическая прямая, следовательно, I
  12. Взаимосвязь модели САРМ с линией рынка капитала и характеристической прямой
    Изображенная на рис. 4.12а линия JIC является линией рынка капитала (CML) - линией из точек различных портфелей, составленных из безрискового актива с фиксированной доходностью kf, и рыночного портфеля рисковых активов для портфеля р: kp = kf + + (a p){(km - kf)/cj т}. Прямая JIC показывает комбинации эффективного портфеля М и безрискового актива. Наклон CML, равный (km — kf)/o m, определяет
  13. Несущественные игры
    Несущественность игры зачастую можно проверить еще на той стадии исследования, когда известна только ее нормальная форма. Пусть полезность игроков линейно-трансферабельна. Определение 7 [70]: Ситуация у* = (у*,...,у*) называется сильным равновесием Нэша игры п лиц с функциями выигрыша fi(yl,...,yn) и стратегиями уг. е Д¦, ieN, если для любой коалиции S с N и для любого ее действия ys е Y\Ai
  14.   § 12. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
      12.1. Задача нахождения ситуаций равновесия бескоалиционной игры Г формата (тХ9... , фактически состоит в решении системы + . .. ... + тп неравенств вида (8.2) с тг . .. тп ограничениями неотрицатель&ности и п ограничениями нормирования. Математически это сложно и громоздко. Лишь для отдельных сравнительно простых классов беско&алиционных игр ход решения этой задачи поддается элементарному
  15. Значения игры
    Общими недостатками рассмотренных выше концепций решения является то, что, во-первых, решение существует не для всех игр, во-вторых, если оно существует, то в большинстве случаев не является единственным. Однако в реальности результатом игры является всегда единственное распределение выигрыша между игроками. В этой связи представляется заманчивым построение концепции решения, которая всегда
  16.   § 9. ДЕЛЕЖИ И КЛАССЙЧЕСКИЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ
      Как уже отмечалось, характеристическая функция бескоалиционной игры является весьма неполной реализацией принципа оптимальности максиминного типа, как таковая нуждается в уточнении и действительно может быть уточнена. Это уточнение мы будем осуществлять в виде расчле&ненного на этапы нормативного (оптимизационного) описания распределе&ний полезностей между игроками в условиях каждой конкретной
Портал "ФИНАНСЫ-КРЕДИТ" © 2014
info@finance-credit.news




Рейтинг@Mail.ru